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这个题用反演做是很简单的。
以圆A和圆B的切点O为中心,任取一个长度r,作反演。圆A和圆B反演成两条平行的直线,所有Ci反演成圆。
由于Ci和A,Ci和B,相邻的两个Ci都相切,那么所有Ci反演以后的圆就是夹在两条平行直线间的一列半径相同的圆。
这些圆的切点显然在一条直线上,而且和先前说的两条直线平行。那么在做反演之前,这些切点必然共圆。(结论1)
假设圆Cn反演成圆Gn。它们的圆心OCn和OGn,与O必然共线。假设该直线与Cn交于Cna和Cnb,与Gn交于Gna和Gnb。注意所有的Gn的半径都是相同的,记为rg。
根据反演的定义,OCna * OGnb = r平方 = OGna * OCnb,而OCnb = OCna + 2rn,OGnb = OGna + 2rg。
所以 (OCna + 2rn) / (OGna + 2rg) = OCna / OGna,稍微变换一下形式,得到:(OCna + rn) / (OGna + rg) = rn / rg
从Gn圆心向AB圆心连线作垂线,根据明显的相似三角形,有Ln / (2n * rg) = (OCna + rn) / (OGna + rg) = rn / rg
所以 Ln = 2n * rn (结论2) |
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