为什么圆周率 π 是无理数

xxy509

圆周率就是圆的周长和直径的比值
用反证法，还有积分算

假设∏是有理数，则∏=a/b，（a,b为自然数）
令f(x)=(x^n)[(a-bx)^n]/(n!)
若0<x<a/b,则
0<f(x)<(∏^n)(a^n)/(n!)
0<sinx<1
以上两式相乘得：
0<f(x)sinx<(∏^n)(a^n)/(n!)
当n充分大时，,在[0，∏]区间上的积分有
0<∫f(x)sinxdx <[∏^(n+1)](a^n)/(n!)<1 …………（1）
又令：F(x)=f(x)-f"(x)+[f(x)]^(4)-…+[(-1)^n][f(x)]^(2n),(表示偶数阶导数)
由于n!f(x)是x的整系数多项式，且各项的次数都不小于n，故f(x)及其各阶导数在x=0点处的值也都是整数，因此，F(x)和F(∏)也都是整数。
又因为
d[F'(x)sinx-F(x)conx]/dx
=F"(x)sinx+F'(x)cosx-F'(x)cosx+F(x)sinx
=F"(x)sinx+F(x)sinx
=f(x)sinx
所以有：
∫f(x)sinxdx=[F'(x)sinx-F(x)cosx]，（此处上限为∏，下限为0）
=F(∏)+F(0)
上式表示∫f(x)sinxdx在[0，∏]区间上的积分为整数，这与（1）式矛盾。所以∏不是有理数，又它是实数，故∏是无理数

ps：非本人原创，只起知识传递作用
希望对此感兴趣的人有帮助

K_JC

我是一个中学生.不知道说得对不对的
我初中的时候大概也问过老师这个问题.
为什么会是圆周率永远也写不完 是一个无理数
记得老师当时大概是这样解释的:
圆形可以理解成一个无限多边形
本来圆周率的算出不是像我们学习那样量一下园的周长 然后量一下园的半径. 然后通过多次计算出来的
而是本来一个正四边形 然后一个正五边形 这样数字就越来越准确(当然 我不知道是怎么算的) 然后又正六边形 正七边形 一直无限边大下去. 当然这个可以无限的大. 没有最大的 所以 数一直是不准确的 只会小数增加. 不会有停止.
大概就是这样 可能我也说不清.
我是中学生,, 这个不一定对的

conwood

转载自维基百科：

π是个无理数，即不可表达成两个整数之比，是由Johann Heinrich Lambert于1761年证明的。 1882年，Ferdinand Lindemann更证明了π是超越数，即不可能是任何有理数多项式的根。

wendaomaye

原帖由小波于 2009-8-19 22:27 发表很好奇吧，割圆术…………算啊算啊算

这个对。我记得老师给画过图。就是一个多边形。不断的在边上切。最后就趋近一个圆了。

superacid

学生就这样很轻松地被老师糊弄过去了...

r_517

原帖由 superacid 于 2009-8-20 14:48 发表
学生就这样很轻松地被老师糊弄过去了...

没办法= =一般老师应该都是这么糊弄的。。。

Paracel_007

π 是无理数，这个要用微积分吧（我有一本书上又超越数的证明，一长段啊……）

咖啡味的茶

我这里有个简单的证明。用pi表示圆周率。
首先，假设它是一个有理数。那么它表示为a/b。那么a/4b也是有理数。跟据Leibniz级数1-1/3+1/5-1/7+……+1/(2k+1)-1/(2k+3)+……=pi/4=a/4b。把等式左边化为2*(1/1*3+1/5*7+……)
先证明一个引理：a(i)是正整数。[a(1),a(2),a(3),…,a(n)]=1，那么S=  a(i)的所有项乘积，S/a(i) (k=1,2,3,…,n)中n项最大公约数为1。
那么把原式通分后，会得到分子中不含有所有分母的因子的最简分数。那么分母数目是无限大的。那么b无限大。与题设矛盾。

superacid

楼上很有想法，只不过，显然是有问题的

咖啡味的茶

问题出在哪里？