概率问题：球面四点

Arcan

球面的太复杂,考虑不明白,先考虑一下二维的吧，即任意在圆周上给三点，这三点在同一半圆上的概率是多大。

我算了一下，3/4？

假设圆上随机有两点A、B（夹角0°≤α≤180°），那么分别作过这两点圆的直径，如图：

可知如果点C在红色区域与绿色区域所在圆周上均满足三点在同一半圆上。即C在圆周上的满足三点拱半圆的可能存在的角度范围为360°-α，也就是C在圆周上满足三点共半圆的几率为y=(360-α)/360=1-α/360，其中（0°≤α≤180°），不难看出三点共半圆的几率从1～1/2之间均匀变化，那么可求得总的概率为3／4

[此贴子已经被作者于2007-6-25 21:03:10编辑过]

cube_artist

应楼上Arcan兄的帖子,前半部分我想到过,

可是到后半部分

"不难看出三点共半圆的几率从1～1/2之间均匀变化，那么可求得总的概率为3／4"

就没有想到这个地步了,的确是高招.

"均匀变化"的根据,是不是因为任意两个点所形成的圆心角的大小是的概率是均匀的.?

Arcan

第一点随机出现后，由于第二点分布在圆周上的位置概率是均等的，所以与第一点的夹角按顺时针为正来看是从－180度到180度概率一样的，求绝对值即从0到180度也是均匀的。

其实本不该用"不难看出三点共半圆的几率从1～1/2之间均匀变化，那么可求得总的概率为3／4"这样的话的，不过微积分的知识基本上都还给老师了，应该可以用积分来求。比用上面那句话更好一点，但结果应该是一样的。

我觉得对于球面其实也可以这么解：

设球面三点A，B，C，三角形ABC三边夹角为a,b,c，a+b+c=180度，即π
根据立体几何知识可以求出球面上弧AB、弧AC在A点切线的夹角x，弧AB和弧BC切线在B点的夹角y，弧BC和弧AC在C点切线的夹角z。
根据球面上多边形面积公式S = [ (2-n) π + Σb i ] * R^2可以求出球面ABC的面积（n为多边形边数，这里取3，Bi为每个球面上角的弧度值，即刚才的x,y,z），那么能够保证四点同半球面的面积就＝球面面积-球面ABC面积（与二维的相似），那么球面四点同半球的几率就可以最终写成关于a,b,c的一个函数，然后对这个函数积分，应该可以得到结果吧。不过我在做到求弧的夹角的时候就不会了，高中的立体几何也已经还给老师了，所以就没做。

[此贴子已经被作者于2007-6-26 0:41:07编辑过]

Cielo

QUOTE:

以下是引用Arcan在2007-6-26 0:38:16的发言：

第一点随机出现后，由于第二点分布在圆周上的位置概率是均等的，所以与第一点的夹角按顺时针为正来看是从－180度到180度概率一样的，求绝对值即从0到180度也是均匀的。

其实本不该用"不难看出三点共半圆的几率从1～1/2之间均匀变化，那么可求得总的概率为3／4"这样的话的，不过微积分的知识基本上都还给老师了，应该可以用积分来求。比用上面那句话更好一点，但结果应该是一样的。

我觉得对于球面其实也可以这么解：

设球面三点A，B，C，三角形ABC三边夹角为a,b,c，a+b+c=180度，即π
根据立体几何知识可以求出球面上弧AB、弧AC在A点切线的夹角x，弧AB和弧BC切线在B点的夹角y，弧BC和弧AC在C点切线的夹角z。
根据球面上多边形面积公式S = [ (2-n) π + Σb i ] * R^2可以求出球面ABC的面积（n为多边形边数，这里取3，Bi为每个球面上角的弧度值，即刚才的x,y,z），那么能够保证四点同半球面的面积就＝球面面积-球面ABC面积（与二维的相似），那么球面四点同半球的几率就可以最终写成关于a,b,c的一个函数，然后对这个函数积分，应该可以得到结果吧。不过我在做到求弧的夹角的时候就不会了，高中的立体几何也已经还给老师了，所以就没做。

厉害！想法就是这样的！这本来是我们老师上课出的思考题，我也是球面的不会算，最后是听的一个同学讲的解法。

实际上，圆周上的问题可以转化为：圆周上任给两点，它们之间的劣弧（就是较短的那条）长的平均值是多少；

类似的，球面上的问题可以转化为：球面上任给三点，它们形成的球面三角形面积的平均值是多少。

第一个问题我当时是用积分做的，第二个问题由于我不知道球面多边形面积公式所以完全无法下手……那个同学的方法可能不算太严格，但可以通用于这两个问题，也算比较巧妙吧！所以大家再想想^_^

乌木

好像球面三角形的面积不大好算的。它的三角之和大于180°，其差为“角超”E。球面三角形面积S＝EπR^2/180（E以度计）＝ER^2（E以弧度计）。

Cielo

呵呵不好意思好久没上了!
先说说圆周三点的问题吧：正如41楼图中所示，A、B确定后，三点不共半圆的概率等于劣弧AB的长占圆周长的比例。所以原题就转化为：求圆周上任给两点，它们所夹劣弧长度的平均值。
仍然用41楼的图，对任给的两点A、B，设它们的对径点分别是C、D，我们从两组对径点的每组中取一个点，有以下几种情况：（A、B）（A、D）（C、B）（C、D），这四段劣弧长之和恰为整个圆周长，从而我们说平均长度为1/4圆周长。

类似地，球面四点问题可以转化为：球面上任给三个点，它们形成的球面三角形的面积的平均值是多少？此时对任三个点，也取它们的对径点，从每组对径点中选一个，共有2^3=8种情况，可以发现这8块球面三角形正好拼成整个球面，所以说平均面积为1/8球表面积。所以原问题答案是1-1/8=7/8（以上说法只是从直观上说的，感觉不太严格，希望大家继续讨论）

cube_artist

接楼上:

就是"它们所夹劣弧长度的平均值。"

我和我的老师在讨论,就是能否这样取.

如果确定能,就没问题咯!呵呵.[em01][em01]

 

不过球面,看到乌木兄的公式有点晕.

 

[em06]

pumpitup

我怎么感觉是大于50%呢?

四个点,任取两点确定一个圆周,根据第三个点的位置确定半球,显示处在第三个点的半球上的概率是50%．但是，显然不在这个半球上也可能在一个半球上，那就是作出这三个点在球面三角形上的垂心(应该能作的)，以这一点为中心作半球，第四个点落在这个半球上的话也是在一个半球中的．

想像一下，前三个点靠得很近的话，基本上是在1/2以上，3/4以下吧！

Cielo

呵呵之前说答案是7/8，是大于50%了的。

pumpitup

但是三点肯定是在一个半球面上的啊!