概率问题：球面四点

Cielo

在mf8群里提出过一个问题：球面上任给四个点，问它们处于同一个半球面上的概率。

前几天都没机会上网，不知道大家有没有得到答案^_^

Cielo

 呵呵猜错了。

Cielo

不好意思,我这里教育网上mf8上不了所以来晚了……今天好不容易找了个代理才上

回答乌木先生5楼的问题：半球是任意取的，就是说给了四点后只要存在一个半球面覆盖这四点即可。

再就是关于某几点在同一个大圆周上或两点在直径两端的这些情况，概率是0，可以不考虑的。

14楼转载的这个解法是对的，概率是1-1/8=7/8。

看来网上真是什么题目都有啊呵呵！

[此贴子已经被作者于2007-6-4 16:26:21编辑过]

Cielo

QUOTE:

以下是引用乌木在2007-6-4 16:44:53的发言：

1楼题目：“球面上任给四个点，问它们处于同一个半球面上的概率。”

14楼题目：“求球面上n个均匀随机分布的点落在同一半球的概率。”

好像不同吧？

4个点均布于一个球面，应是正四面体的四个顶点吧？然后这个内接正四面体在球内保持正四面体形状的同时，整体随机运动，随机叫停时，某个指定的半球获得这四个点的概率是多少？好像不可能吧？除非四个点中途变形，那么，又有什么“均匀”呢？或者，题目中的“均匀”作何解？

个人认为“均匀”这两个字可以去掉，因为均匀的意思是每个点位于球面上任何位置的概率是均等的，即均匀分布！

再更正一下我上面那个帖子中的错误，我的问题的推广不是14楼的问题，而是“n维球上随机n+1个点，它们位于同一个半球面上的概率是多少”，n=2时即23楼的那个问题，是可以作类比的！

[此贴子已经被作者于2007-6-4 20:08:59编辑过]

Cielo

QUOTE:

以下是引用牛眼看魔方在2007-6-5 9:42:09的发言：
我看到的解法，就是N维球的，这是个纯理论的问题，所以无法在现实中考量，就象数论一样。乌兄可能要失望了。

哦那就是你14楼未注明了，所以你看到的就是一开始1楼的那个题目的推广了。（这是我们老师课上留的思考题，说是让我们先考虑3维球上四个点的情况）

还是让大家多讨论一下吧，直接给个答案也没什么用了。

[em07]可以先想一想cube-artist的那个圆周上三点的问题， 在结合 “牛眼”提供的答案（其实那就是正确答案了），可能就会想清楚了！

PS:球上四点这个题我也没做出来，但有同学做出来了的，个人觉得能做出来的都非常牛！

Cielo

QUOTE:

以下是引用乌木在2007-6-4 22:39:31的发言：

那么，也就是说，四个点子各自独立，每个点子的落点都是独立事件。选定某个半球，一个点子落在其中的概率为0.5，（落在分隔两个半球的大圆上的话，是否人为规定一下，半周算这半球；另半周算那半球。不知可以吗？）四个独立点子都在指定半球的概率是0.5×0.5×0.5×0.5＝0.0625（对吗？概率问题我弄不大懂）。但是另半球也有0.0625的概率，而且也符合题目要求，故0.0625+0.0625＝0.125。

为何您的答案不是1/8（＝0.125），而是7/8呢？

呵呵，乌木先生对题目的理解还是不清楚。因为半球不是指定的，是已经给了四点后，在无穷多个可能的半球中只要有一个覆盖了这四点就行！

可以先考虑这个问题：圆周上任给3点，它们在同一个半圆周上的概率是多少？

Cielo

QUOTE:

以下是引用cube_artist在2007-6-6 23:56:27的发言：
"

可以先考虑这个问题：圆周上任给3点，它们在同一个半圆周上的概率是多少？

"

请问一下,这个和

"圆上任给3点,在同一半圆的概率"一样吗?

说实话我还没考虑过这个问题。

感觉不太一样，但也仅仅是感觉^_^

Cielo

哎呀对不起大家了，之前一个帖子里我说错话了……我仔细看了一下，发现14楼的问题和我所认为的推广问题不一样。

我认为的是N维球面上N+1个点在同一半球面上的概率（这个太抽象我也想象不出）。而14楼的问题只是点数变多了而已，而且里面的解法太不清楚，用了很多诸如“可以证明”的话，所以大家不看那个证明也可以。或者把这个“可以证明”的结论证明出来^_^

而30楼的问题：圆周上任给3点，它们在同一个半圆周上的概率是多少？这个问题稍简单一点，而且有助于对原问题的解决！

Cielo

嗯接着说圆周上三点的问题

在圆周上有两个固定的点了，那第三个点在圆周上的什么位置就可以保证与前两个点在同一个半圆周上？而又在什么位置就可以保证与前两个点不在同一个半圆周上？

Cielo

QUOTE:

以下是引用Arcan在2007-6-26 0:38:16的发言：

第一点随机出现后，由于第二点分布在圆周上的位置概率是均等的，所以与第一点的夹角按顺时针为正来看是从－180度到180度概率一样的，求绝对值即从0到180度也是均匀的。

其实本不该用"不难看出三点共半圆的几率从1～1/2之间均匀变化，那么可求得总的概率为3／4"这样的话的，不过微积分的知识基本上都还给老师了，应该可以用积分来求。比用上面那句话更好一点，但结果应该是一样的。

我觉得对于球面其实也可以这么解：

设球面三点A，B，C，三角形ABC三边夹角为a,b,c，a+b+c=180度，即π
根据立体几何知识可以求出球面上弧AB、弧AC在A点切线的夹角x，弧AB和弧BC切线在B点的夹角y，弧BC和弧AC在C点切线的夹角z。
根据球面上多边形面积公式S = [ (2-n) π + Σb i ] * R^2可以求出球面ABC的面积（n为多边形边数，这里取3，Bi为每个球面上角的弧度值，即刚才的x,y,z），那么能够保证四点同半球面的面积就＝球面面积-球面ABC面积（与二维的相似），那么球面四点同半球的几率就可以最终写成关于a,b,c的一个函数，然后对这个函数积分，应该可以得到结果吧。不过我在做到求弧的夹角的时候就不会了，高中的立体几何也已经还给老师了，所以就没做。

厉害！想法就是这样的！这本来是我们老师上课出的思考题，我也是球面的不会算，最后是听的一个同学讲的解法。

实际上，圆周上的问题可以转化为：圆周上任给两点，它们之间的劣弧（就是较短的那条）长的平均值是多少；

类似的，球面上的问题可以转化为：球面上任给三点，它们形成的球面三角形面积的平均值是多少。

第一个问题我当时是用积分做的，第二个问题由于我不知道球面多边形面积公式所以完全无法下手……那个同学的方法可能不算太严格，但可以通用于这两个问题，也算比较巧妙吧！所以大家再想想^_^