概率问题：球面四点

乌木

球面上最远的两个点就是任一根球的直径的两端，通过这两点的大圆有无数个。第三个点上去总是在这无数个大圆的某一个大圆的这半边或那半边或就在这大圆上。头二点距离不是最大时，通过这头二点也有一个大圆，第三个点也是不在这半球就在那半球，或就在这大圆上。总之三个点处于同一半球面的概率为1。

问题是上述大圆是否应该固定？如果固定，那么第四点上去时，它和前三点处于同一半球面的概率应该是0.5。

我还未想明白。

乌木

我想，可以属于北半球，也可以属于南半球，按需要吧。好像并无什么矛盾。

乌木

我上面想的那大圆相当于“切西瓜”（切“瓜”的平面必须通过球心）时球面的“切口”。让三个点在一个半球好像没问题，没想明白的是，初步定了如何切法之后，能否再调整一下切口－－不仅头三点在一个半球内，还能调整得使第四点也包括进来？如果总是可以使四个点在一个半球内（包括有些点子在切口大圆上），那么概率岂非为1？

乌木

牛兄改条件了，题目中并无“均匀”这一条件。当然，您给出的是“均匀随机”，可作为另一题的。

乌木

1楼题目：“球面上任给四个点，问它们处于同一个半球面上的概率。”

14楼题目：“求球面上n个均匀随机分布的点落在同一半球的概率。”

好像不同吧？

4个点均布于一个球面，应是正四面体的四个顶点吧？然后这个内接正四面体在球内保持正四面体形状的同时，整体随机运动，随机叫停时，某个指定的半球获得这四个点的概率是多少？好像不可能吧？除非四个点中途变形，那么，又有什么“均匀”呢？或者，题目中的“均匀”作何解？

乌木

那么，也就是说，四个点子各自独立，每个点子的落点都是独立事件。选定某个半球，一个点子落在其中的概率为0.5，（落在分隔两个半球的大圆上的话，是否人为规定一下，半周算这半球；另半周算那半球。不知可以吗？）四个独立点子都在指定半球的概率是0.5×0.5×0.5×0.5＝0.0625（对吗？概率问题我弄不大懂）。但是另半球也有0.0625的概率，而且也符合题目要求，故0.0625+0.0625＝0.125。

为何您的答案不是1/8（＝0.125），而是7/8呢？

乌木

还有，什么叫n维球？n>3时，是高维空间中的、抽象的“球”吧？

n＝3时，即我们的三维空间，n+1＝4，4个点子在三维球面上如何如何。

四维及再高维，就属于数学推广了。对吧？

乌木

噢，那么，我原来想的半球不固定还是对的。尽管牛兄的答案我还不懂（慢慢再说好了），我这里倒想插问一下：

牛兄说“F(n)等于球面上n个大圆（任意两个大圆不重合，任意三个大圆不共点）把球面分割成小片的片数。这个数目等于n^2 - n + 2。”

当n＝4时（n^2 - n + 2＝14），例子之一就是迪斯尼球，它就是8+6＝14片。对吧？

那么，按照本帖理论可以推论，迪斯尼球任意打乱后，那米老鼠的四块身子段无论怎么乱，在同一半球内的概率颇大，为7/8。

对吗？

[此贴子已经被作者于2007-6-8 10:52:32编辑过]

乌木

想做个实验，看看这破碎米老鼠落在同一半球的概率趋向。做不下去了－－题目是四个点，米老鼠是四大片；题目中半球可以随意动（即无穷多个），一旦有一个半球“覆盖”住四点就行。而魔球四条大圆固定死了。所以魔球情况还是不同于题目条件，我33楼想法好像有误－－四大块破碎米老鼠好像不能代表题目的四个点子的。对吗？

看来，魔球最多只能作为“4个那种大圆分割出14片球面”的一个模型。是不是？

乌木

14楼说：“……F(n)等于球面上n个大圆（任意两个大圆不重合，任意三个大圆不共点）把球面分割成小片的片数。这个数目等于n^2 - n + 2。于是所求概率等于 (n^2-n+2) /2^n 。”

30楼说：“半球不是指定的，是已经给了四点后，在无穷多个可能的半球中只要有一个覆盖了这四点就行！”

两者不能混淆，前者n有限，比如n＝4个大圆仅仅分割出8个半球；后者的半球数为“无穷多个”。区别在于，前者n个大圆仅用于求F（n）值，球面被分割出来的若干半球不是用来“覆盖”四个点的；后者无穷多个半球相当于一个运动着的半球正在“打捞”四个点，在试着能否“一网打尽”四个点。

所以，不能用迪斯尼魔球来做“覆盖”实验的。对吗？