三阶纯色所有块不在原位的状态数是多少？

乌木

如果用你给出的n个块都不在原位的排列数公式（http://bbs.mf8-china.com/viewthread ... tra=page%3D1&page=2 的11楼）可以得到
8个角块都不在原位的排列数为14833；12个棱块都不在原位的排列数为176214841。（后者没算错吧？）
两者组合时不能直接相乘吧？即不能说本帖题目的答案为14833×176214841，对吗？
要扰动态角块搭配扰动态棱块，非扰动态角块搭配非扰动态棱块，对吗？如何知道14833之中有多少扰动态，176214841之中有多少扰动态呢？
既然所有角块都不在原位，所有棱块也都不在原位，魔方又没有变形、散架，角块和棱块各自只能是形成位置循环，而且在本题条件下没有不参加循环的角块和棱块。满足本题条件的循环有大有小，两个簇的循环数有多有少。如何找出奇数个偶循环的角块态，搭配找出的奇数个偶循环的棱块态；余下的角块态只能和余下的棱块态组合。两个乘积相加就是本题答案。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-8-31 17:43 编辑 ]

乌木

数目少的话，还可以人工摸索，但后来数目太大，人工弄容易出错，还得哪位用电脑算。我的思路这样，供编程者参考。
以下涉及的数据参看http://bbs.mf8-china.com/viewthr ... &extra=page%3D1 的8楼xpboy的计算结果。
8个角块的位置变化数为8！＝40320，其中一半是扰动态，另一半是非扰动态（对吧？），但8个角块都不在原位的数目14833就不见得是一半一半，何况它是个奇数。那就来个“倒轧账”试试－－看看40320－14833＝25487个态中有多少扰动态，多少非扰动态？
1、8角都在原位，1个态，非扰动。非扰动态累计1，扰动态累计0。
2、6角在原位，2角不在，1×28＝28态，显然都是扰动态。非扰累计1，扰动累计28。
3、5在，3不在，2×56＝112，显然都是非扰。非扰累计113，扰动累计28。
4、4在，4不在，9×70＝630，人工不难排出：4！＝24，其中9种为4个角块都不在原位的；9种之中，6种为各种4元环，扰动态，6×70＝420；3种为各种两个二元环，非扰动，3×70＝210。故非扰累计323，扰动累计448。
5、3在，5不在，44×56＝2464。5！＝120，已经不宜人工排摸了，从120个排列中挑出44个，再查看这44态各自的扰动非扰动，分别乘以56后，算扰动非扰动的累计数。
6、和7、查算2角在原位、6角不在原位和1角在原位、7角不在原位的情况，方法类推，但只能交电脑算了。
有了25487个态的扰动非扰动的统计数，又知道40320是一半一半扰动非扰动，就可以知道8个角块都不在原位的数目14833中扰动态数和非扰动态数了。
这样想可以吗？
如果没错，接下来，对数目更大的棱块的查算，方法应该一样吧？大概电脑不怕的吧？
这样，本帖答案可以算得了吧？
真是有点“无事忙”啊！

乌木

我只是在http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=37675&extra=page%3D1 的8楼xpboy的计算结果的基础上，进一步试试能否分清“8个角块都不在原位的数目14833”之中有多少扰动态，多少非扰动态。
所以，如果说我没有考虑消同态的话，也是应该先查问xpboy的计算结果14833等是否要消同态。
我想，三阶魔方的8个角块的位置变化数8！在此并无同态（极重要的原因是固定中心块不动，否则，单单看角块－棱块框架的话，任一模样都有12个同态，角块哪有8！种不同变化呢。换到二阶魔方的场合时时，则8！之中任一模样都有24个同态，也是不能算作8！的。），此处讨论的8！的局部数目14833等应该也没有同态，对吗？
再举例说说我5楼的具体计算，4个角块的位置变化数24之中，只有9种是4块都不在原位的：
假定都在原位的状态为 1 2 3 4 ，那么，都不在原位的9种状态是：
2143，3412，4321－－三种都是两个两交换，非扰动态；
2341，2413，3142，3421，4123，4312－－六种都是一个四轮换，扰动态。
这9种情况并无同态。
再考虑8选4的组合数70后，9×70＝630个“4角在原位、4角不在原位”态之中有无同态，我无法一一比对，我只是据上述“8！本身没有同态”而认为其局部数目630个态也无同态。
还可以看到，这630个态的扰动不扰动情况并非统一的，分为数目不相等的两类！
总之，这里还是离不开参照物中心块组。
不知可以不可以这样认识？

当然，我不是直接计算“8个角块都不在原位的数目14833”之中有多少扰动态，多少非扰动态，而是先去计算另一部分即25487个态中有多少扰动态，多少非扰动态，再倒推14833的情况。显然此法不如你们直接计算好。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-9-1 15:26 编辑 ]

乌木

那么，例如6楼的“4+4：C84*3！*3！/2！=1260”，这除以2！是校正C₈⁴ 引起的重复，即重复不是3！×3！引起的，对吗？

还有，4+2+2：C84*C42*3!/2！=1260
3+3+2：C83*C53*2！*2！/2！=1120
2+2+2+2：C82*C62*C42/4！=105
的除数分别校正哪个C或哪几个C引起的重复呢？

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-9-1 18:59 编辑 ]

乌木

原帖由 jxf1991 于 2009-9-1 19:40 发表
忍大师16楼的解释很明确，不知道乌木老师能看明白吗？
4+2+2除以2！是为了消去两个二元环互换造成的重复，例如第一个二元环是56，第二个二元环是78和第一个二元环是78，第二个二元环是56

我还是不懂。我一直以为在计算排列数时，交换某两个东西算新的排列，要计入排列数；在计算组合数时，同一组合内部交换某两个东西不算新的组合。
此处较为复杂的问题时，我就不懂这例子中的56与78之交换是怎么出来的呢？这例子中，“4+2+2：C84*C42*3!/2！=1260”，既有组合，又有排列，是哪个环节发生“两个二元环互换”的呢？还是综合的结果有“两个二元环互换”需要校正？看来，这问题我不妨先放一放好了。

此外，7楼中你说先是算得9000多种，不对，后来才算得14833。问题是，xpboy给出的8角都不在原位的数目14833对吗？xpboy没有证明，最好你先要证明一下，然后你7楼才可以说“终于算对了”。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-9-2 07:28 编辑 ]

乌木

要设置出若干种各块位置、色向都是非复原态的魔方态并不难，要算出这种态的总数就是另一回事了。佩服。

曾有帖子探讨最远态、最乱态什么的。本帖（加上色向都是非复原态）涉及的就是最乱态了吧？这么多的混乱态，混乱度不会是一样的吧？我是不会计算一个体系的混乱度，有人会算的。

乌木

不太懂那些计算，玩玩具体的的吧。做一个各块都不在原位、各块色向也不是复原态的花样：

  
  


[ 本帖最后由 乌木 于 2009-9-2 16:31 编辑 ]

乌木

找了几个换心态，好像都不合本题要求：

  

  

  
  
  

  
  
  



  
  
  

  
  
  

  
  
  



  
  
  

  
  
  


我继续再找找，下面三种各块位置符合本题，色向问题需要时可以再处理一下，这里暂不动色向，便于观察：

  
  
  
  
  

  
  
  
  
  

  
  
  
  
  


还有一种就是复原态，不画出了。至此，角块－棱块框架整体（偶数次90°）运动的12种方式全了。
所以，此类简单的变换方式之中看来只有三种符合本题。

原来如此，六面换心相当于，中心块不动，角块－棱块框架绕立方体的某一体对角线旋转120°，所以总是有立方体体对角线上的两个角块位置不变，所以六面换心花样总是不合本题要求。
而四面换心相当于，中心块不动，角块－棱块框架绕某一体对角线转120°，接着再绕另一体对角线转120度，所以符合本题要求。请看演示：

  
  
  
  




[ 本帖最后由 乌木 于 2009-9-4 11:29 编辑 ]

乌木

32楼最后第二个java图再改改各块的色向，就使各块位置和色向都不是原态了：

  
  


虽然各块都非复原态，但整体看看，这个花样还有点规律，还没有一片混乱啊。

看来，所谓“做起来最容易”，这花样人脑做做步骤还是蛮多，还是30楼的步骤更少。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-9-4 11:30 编辑 ]

乌木

这UD'LR'FB'FB'的结果不符合本帖题目要求嘛：