三阶到底有多少种变化?

rongduo

Coolow网友的帖子，是我所见到的关于魔方组合数的最好的推算。它机智，浅显易懂，不需要高深繁难的数学推导。其结果的正确性是无疑的，但其严格性可能仍有瑕疵。比如说：“角块位置固定后如果7个角块的方向固定，那么第8个也固定了，所以得除以3”------为什么?为什么只能是第8个而不是第3、第4个呢？这正是须要论证的地方。当然，这已经不是一个短帖的任务了。

rongduo

以下是引用coolow在2004-11-23 15:52:44的发言：

我是这么算的

(8!)*(3^8)*(12!)*(2^12)/12

=40320*531441*479001600*4096/12

=519024039293878772000/12

=43252003274489856000

解释如下：

8的阶乘为角块有8个，在各种不同位置的状态应为8的阶乘

3的8次幂为8个角块固定位置后，每个角块有三种状态

12的阶乘为边块有12个，在各种不同位置的状态应为12的阶乘

2的12次幂为12个边块固定位置后，每个边块有两种状态

除以12为你随便拆乱一个魔方，再随便安装后，有12分之1的概率将其复原，具体情况为角块位置固定后如果7个角块的方向固定，那么第8个也固定了，所以得除以3，边块同理，位置固定后，如果11个方向固定，那么第12个也固定了，所以得除以2，至于角块和边块的位置，任何两个角块的位置互换，等同于两个边块的位置互换，就是说，魔方无论各个块如何重新安装，只从位置考虑（不考虑方向），只有两种可能，正确与错误，且各占50%，就是说，只从位置考虑，不是能把位置都恢复正确，就是把位置都归结为两边块（或角块）互换，所以说一共需要除以12。

“只从位置考虑，不是能把位置都恢复正确，就是把位置都归结为两边块（或角块）互换”——但我们在魔方上常常看见，方块A占据了方块B的位置，然而B却没有占据A的位置，可见方块的位置关系并不仅仅是互换位置。

我在此前的帖中说了，coolow网友的想法是机智的，但却是不甚严格的。严格计算的前提是对置换问题有较系统地了解。事实上，置换的许多精微性质不是很显见的。

rongduo

我所知道的三种严格的组合数计算(是我正在边录入边修改的《魔方组合原理》一书中的内容)，没有一种满足直接性和简洁性的要求。打算近期在论坛先发表其中的一种(与“除以12”有关)，以就教于网友。三种计算都须要跷跷板原理，但它们各自的思路又很不相同，这些思路分别是：

1. 近期将发表的一种，它须引用书中的魔方表示定理。

2. 运用排列组合知识“硬算”。

3. 引用群论中的置换知识。

但我仍然渴望能看到一种既严格，又直观、直接、简洁的魔方组合计算。