美国数学比赛问题

yinjiaqiu

有素数(质数) p 和 q 存在二次方 px^2 - qx+ p = 0, 有一个有理数答案? 如果有,找出所有可能性.

devouer

这应该是 x(1.2) =q(+/-)sqrt(q^2-4p^2)/2p,要使得是有理数的解,就必须保证 q^2-4p^2 =y^2 ,化简得q^2=(2p)^2+y^2,怎么看起来有点象勾股弦了,这应该就是答案了 q=5,p =2

yinjiaqiu

[em17]

还猪哥哥

符合勾股定理的数有很多。这里再列出几个符合q^2=(2p)^2+y^2的

q=13,p=6

q=41,p=20,

q=61.p=30

q=85,p=42

......

yinjiaqiu

q 和 p一定要 质数..意思是 2,3,5,7,11,13,17......

Joseph

以下是引用hw294在2004-11-16 1:52:27的发言：

q=5,p =2 应该是唯一的解，能否证明呢？

因为要使px^2-qx+p=0有有理数解必须其判别式是一个完全平方数，于是得到q^2-4p^2=t^2，即t^2+(2p)^2=q^2。 因为p、q是素数，则t、2p、q必然互素，根据勾股数的公式，互素的全部正勾股数如下： t=m^2-n^2，2p=2mn，q=m^2+n^2，其中m、n是互素的正整数，m>n。 由2p=2mn得到p=mn，因为p是素数，所以必须m=1或n=1，但是如果m=1，则与m>n>0矛盾，所以只能n=1，于是就得到 t=m^2-1，p=m，q=m^2+1。 因为m>1所以q>2，所以q必然是奇素数，所以由m^2=q-1得到m必然是偶数。另外由p=m知道m必然是素数，而偶素数只有2一个，那么就得到m=2，最后就得到p=2，q=5。

[此贴子已经被作者于2004-11-16 12:11:25编辑过]

cube_master

好，顶一下[em05]

whitetiger

7楼的解法，有些步骤的解释还不完全。

比如“因为p、q是素数，则t、2p、q必然互素”，怎么也得交代一下q不可能为2吧！

其实，直接可以从q^2-4p^2=t^2，得到：(q-t)(q+t)=4p^2。

t不为0，否则q=2p，非质数；

p为奇数的话，q-t与q+t同奇偶，q+t=2p^2，q-t=2（不能同时为2p的），所以q=p^2+1，为偶数；

所以p只能为偶数，2！q为5！（还是有q=p^2+1）

殊途同归！Joseph直接利用了勾股数的公式，而这个未必是大家都知道的。我的方法，其实也就是说明了勾股数公式的由来。