数轴上的问题

tm__xk

怎么还抠字眼。“绝不代表这个数列单增或者单减，”这句话中：
这根本就不是抠字眼的问题....

首先，应当确定是否承认“从小到大排列”的数列，也就是“单增数列”是不是符合第一问的答案的一种？
这个问题就已经不对了....“从小到大排列”根本就不能得到数列..“从小到大排列”的数列根本就不存在..



其实随便什么稠密的数列都可以..

tm__xk

原帖由 limite034 于 2010-3-28 10:25 发表


换言之，出题人考核的不是你所说的数列知识。他要考核，对于实数理论的掌握和集合的基数以及势的概念的掌握。以及论证方法。

不同意.
正如我之前说的,如果跟数列无关,那我直接把实数的定义抄上去就成了..
也许还考察大家对基数,数列之类的概念有没有混乱..

superacid

为何LZ不自己找个数学家问问呢？

superacid

如果数列能想LZ定义的一样，请问LZ如何证明实数是不可列的？

tm__xk

LZ喜欢百度..

摘自http://baike.baidu.com/view/39749.html:
概念
　　按一定次序排列的一列数称为数列（sequence of number）。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数列称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项。所以，数列的一般形式可以写成
　　a1，a2，a3，…，an，…



注意..最起码也有个首项..
请LZ告诉大家..把所有有理数从小到大排列..
如果称之为"数列",那首相是什么..

lulijie

对于楼主的题目，还是按照32楼的描述直观一些：
       要构造一个数列,使得任取0和1之间的一个数L,都存在一个子数列收敛于L.
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上面已经有人提到这个数列Q：
0.1，0.2，0.3，0.4，......0.9
0.01，0.02，0.03，......0.98，0.99
0.001，0.002..........0.999
0.0001，.............
即是这么一个数列，按照小数的位数排列。位数小的排前面，位数相同的按照从小到大排列。
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这样对于任何给定的(0，1)之间的L，
●若L是是无限小数【即无理数和部分有理数(无限循环小数如1/3)】，可以取L的前n位数作为子数列的第n个元素。这个子数列的每个后面的元素都比前面的元素位数多，所以在原数列的排列的顺序是相同的。这样的子数列符合题意。
●若L数有限小数，那么设L是k位小数。那么子数列可以取：  L+1/10^(k+n)
    比如L=0.75，那么子数列可以取：0.751，0.7501,0.75001,0.750001,............
这个子数列的每个后面的元素都比前面的元素位数多，所以在原数列的排列的顺序是相同的。这样的子数列符合题意。
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数列有一个基本的特性，不知对不对。
给定一个数列A，再给定一个元素a，若a属于A中的元素，那么一定知道a是A中的第几号元素。
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比如a(n)=1/n：  0.1是数列中的元素，它排第10个。0.3不是数列中的元素。0是不是这个数列中的数呢？不是，0只能说是该数列的极限，而不是该数列中的元素。
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那么前面提到的数列Q，是不是包含了所有的有理数呢？
非也，前面的数列只是包括了所有的有限小数，而所有的无限小数包括无限循环小数，都不是数列Q的元素。比如1/3，如果说它是数列Q中的元素，那么它的排列位置是多少呢？
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[ 本帖最后由 lulijie 于 2010-3-28 20:57 编辑 ]

lulijie

14楼构造的数列，姑且称作数列B：
构造这样数列:
1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5,3/5,4/5,...
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它以所有的真分数作为元素，分数的分母小的排前面，分母相同的分数，分子小的排前面。
这样数列B就包含了（0，1）之间的所有的有理数。
但题目才刚上路，对于任意给定的（0，1）之间的L，如何从数列B中找出子数列，使得该子数列的极限是L。
有人说这还不简单。随便举一个例子，比如L是有理数，那么，取L+1/n作为子数列的通项即可。
但是L+1/n的所有元素都属于数列B，但该子数列的排列顺序，并不是原数列B中的排列顺序，所以它不是数列B的子数列。
只有确定如何找到符合题意的子数列，题目解答才算完整。要像我在上面给出数列Q具体的寻找子数列的方法一样。

[ 本帖最后由 lulijie 于 2010-3-28 18:23 编辑 ]

superacid

只要说明任何数的任意邻域都有无穷多个有理数就可以了，这是比较显然的

tm__xk

同意87L.
子数列必须保持原数列中的顺序,因此原数列中数的顺序也是关键.

同88L:
所以不必遍历Q..只要数列稠密就行了..比如前面所说的有限小数列..
当然稠密也是必要的..所以也是充要条件..

lulijie

楼上：
数列：1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5,3/5,4/5,...
请给出一个具体的子数列，使得它的极限是2/3。
既然是显然的，那么给出这样的子数列应该非常简单。