数轴上的问题

schuma

那就把所有 (0,1)的有理数排成一个序列了，这个数列在[0,1]区间上稠密，所以每一点都是极限点

limite034

原帖由 schuma 于 2010-3-26 00:39 发表
那就把所有 (0,1)的有理数排成一个序列了，这个数列在[0,1]区间上稠密，所以每一点都是极限点

答案很好。应当给分。
如果在严格的说，答案可以这样：
将 (0,1)所有的有理数从小到大排成一个序列。

希望有谁能给大家将“为什么”描述更详细一点。即让大家了解实数的性质，又让大家更好的理解极限的概念。
我虽然做过此题，但是，我也没有找到出题人的标准答案。谢谢！
如果有谁能解释的更清楚，我会将此题的“出处”告诉大家。
如果还没有更好的解释，我就将我的答案说出来，看看大家是否满意。

Cielo

很多回答都很好啊！
尤其14楼和40楼都给出了具体数列了，楼主还不满意？

我觉得最容易解释的就是40楼的例子了，每个数写成小数形式就OK……

Cielo

原帖由 limite034 于 2010-3-26 12:46 发表


如果在严格的说，答案可以这样：
将 (0,1)所有的有理数从小到大排成一个序列。 ...

这是不可能的……
假设排好了，由稠密性，任何相邻两项之间还有无穷个有理数比前面一个大，比后面一个小。

limite034

原帖由 Cielo 于 2010-3-26 14:28 发表


这是不可能的……
假设排好了，由稠密性，任何相邻两项之间还有无穷个有理数比前面一个大，比后面一个小。

我认为概念有问题。为什么逼我先解释。能不能再等等。然后我解释，可以吗？如果不正确都没关系。只是争论。明辨一下。

tm__xk

个人认为..排成一个数列后..最起码我任给一个正整数n,你都能明确告诉我第n项是什么数..

limite034

原帖由 tm__xk 于 2010-3-26 16:27 发表
个人认为..排成一个数列后..最起码我任给一个正整数n,你都能明确告诉我第n项是什么数..

   其实，大家搜一搜有理数如何定义的。搜一搜历史来历，譬如谁是康托尔，谁是希尔伯特。就好解答了。
这涉及到集合的基数和势。有理数是可数集。尽管它是无限。也就是说，可以通过从小到大编排序号。一直数下去。由于他是无限集，不能用有限的数法数到第n项是几。但总能通过比较大小，看出谁编排在前面，谁编排在后面。总不能否认，它能排队这个事实吧！如果还停留在用有限的概念上理解“极限”和“无限”。就有点太那个了。你说呢？如果谁有兴趣，搜索资料，看看如何回答效果最好。希望给出标准答案。
  总之，将有理数从小到大能够排列，不是我的发明。任何实数理论或者集合论都会有记载。我之所以把这道题找出来，就是希望大家再重新理顺概念，如果有谁想考研究生，特别是基础数学方面的，是一件有意义的事情。
  这是一道近三十年前，中国科学院数学所的研究生入学考题。共三问，本题20分。我省略了最后一问。就是关于上确界的问题。
  在试卷中，还有一道经典考题。就是使用多种方法求出某个“正态函数积分”。（注意是多种方法,至少三种）本题20分。（怎么表述记不清了）

superacid

请LZ把自己的答案发来分享一下

limite034

我们是朋友。现在吗？再等等好吗？我可没有标准答案。我只是凭自己的感觉做的，不一定准确。见笑了。

[ 本帖最后由 limite034 于 2010-3-26 18:04 编辑 ]

limite034

关于“正态函数积分”的题，如果谁喜欢数学，可以凭自己的数学知识，立定找到一两种方法。如果是五六种方法，就得查查参考书了。由于我对这道题就有准备（“压”对题了）。我的确用了五六种方法。其中一种方法就是套用概率论中给出的“正态分布的概率密度函数”积分公式。直接就可以给出答案。虽然有点“投机取巧”。搞应用数学和统计的专家喜欢。我把这“小把戏”奉献出来，如果你喜欢，可以问问老师，这么做行不行。