一个有趣难解的游戏

hubo5563

开始有三堆不等的石子，分别假定为n1，n2，n3。两个人轮流抓，规则如下：
轮到谁抓，他可以从三堆中任意一堆、二堆或三堆中抓任意多个，从多堆中抓必须要求抓的数相等。不能不抓。
最后准有一个人没有可抓的就算输。

问题是怎样保证你不输？规律是什么？
问题如果只限从一堆抓，已经解决。

例如n1=7，n2=8，n3=10 （7  8  10）
第一人从第三堆抓5个，（7  8  5）第二人从第一、第二堆各抓6个。（1    2  5）
第一人从第三堆抓5个，（1  2  0）第二人怎么抓都抓不完，比如从第二堆中抓1个，（1  1  0  ），那么第一人从第一第二堆各抓一个完。第二人输。（0  0  0 ）

[ 本帖最后由 hubo5563 于 2010-8-16 22:30 编辑 ]

hubo5563

对于（7  8  10）来说，你抓走哪堆我都有对付的办法：
如果你抓走第一堆    （0  8 10），我从第二、第三堆各抓5个 （0  3  5） 你必输。
如果你抓走第二堆    （7 0  10），我从第三堆抓6个  （7 0 4）你必输。
如果你抓走第三堆    （7  8   0），我从第一堆、第二堆各抓6个  （1  2  0）你也必输。
所以不能一次就变成两堆，降阶法不灵。

[ 本帖最后由 hubo5563 于 2010-8-17 09:21 编辑 ]

hubo5563

“当三堆数目都不相等时，不能全部抓一堆，否则必输。”这个结论也不对。
例如：
对于（7 8  10），如果你从第二堆中抓4个，（7  4  10），我就抓走第三堆，（7  4   0），你必输。

hubo5563

（0  8 10）， （0  3  5）.，（0 3 4），第2堆、第三堆各抓2个，（0 1 2）
（7 0  10）， （7  0  4），（3 0  4），第一堆、第三堆各抓2个，（1 0 2）

[ 本帖最后由 hubo5563 于 2010-8-18 21:08 编辑 ]

hubo5563

对于三堆还找不到这样的公式。
这就是难点。

  两堆的奇异局势也是三堆的奇异局势，算法是你给出的公式。

（0 0 0），（0 1 2），（1 1 4），（0 3 5），（2 2 6），（1   3  3），（1 5 6），（2 3 8），（2 4 10），（3 4 4），（5 5 7），等都是奇异局势。

一直找不到公式，但可以用计算机编程计算出任意多组这样的奇异局势。

对于奇异局势，除了（0 0 0）是最终状态，其他任何一个奇异局势，经过任何一个合法的抓法必然变为非奇异局势。
任何一个非奇异局势，存在一个合法的正确抓法变为奇异局势。

如果两个对局的人都会，碰到奇异局势的人必输。

[ 本帖最后由 hubo5563 于 2010-8-20 16:37 编辑 ]

hubo5563

不是这样的。（3,5）、（4,7）是奇异局势，而（5,9）、（6,11）不是奇异局势。
对于（5,9），我从第二堆抓6个，就变成（5,3）你必输。
对于（6,11），我从第二堆抓1，就变成（6,10），（6,10）是奇异局势，所以你也必输。
对于两堆，奇异局势如下：
（0,0）、（1,2）、（3,5）、（4,7）、（6,10）、（8,13）、（9,15）、（11,18）、（12,20）........

第n组奇异局势为（an，bn），an=n×[(1+根号5)÷2]取整数部分,bn=n×[(3+根号5)÷2]取整数部分。

例如：第6组奇异局势
按公式计算：an=6×1.618034=9.708204取整为9
                     bn=6×2.618034=15.708204取整为15
                    所以第6组奇异局势为（9,15）。
                    注意，取整不要四舍五入。

[ 本帖最后由 hubo5563 于 2010-8-20 15:20 编辑 ]

hubo5563

对于三堆的奇异局势，我也构造了一个奇异局势表。有这个表，会用这个表，就能百战百胜。

对于给定局势，（a，b，c）假定a<=b<=c。
首先查看a列b行那个数假定为d；
如果d=c，那么这就是一个奇异局势，如果对手会玩这个游戏，你必输。否则，你随便从任一堆中取，等待对方出错。
如果d<c，那么从c中取c-d个，变为（a,b,c-(c-d))=(a,b,d)为奇异局势，对方必输。
如果d>c，那么分如下几种情况：
       首先从d往上找，如果发现有c，假定c在b1行，那么从第二堆中取走b-b1个，变为（a，b-(b-b1),c)=(a,b1,c)这是个奇异局势。对方必输。
       如果从d往上找找不到c，再从d往左找，如果发现c在a1列，那么从第一堆中取走a-a1个，变为（a-(a-a1)，b，c)=(a1,b,c)这是个奇异局势。对方必输。
       如果还没找到c，再从d往左上方沿对角线45度方向找，如果发现c在a1列b1行，此时a-a1和b-b1相等，那么从第一堆中取走a-a1个，从第二堆中取走b-b1个变为（a-(a-a1)，b-(b-b1)，c)=(a1,b1,c)这是个奇异局势。对方必输。
       如果还找不到c，变换查找方式，从d上面第一格开始，往上找，每次比较前，将c减去1，直到第一行。如果第i次发现相等了，那么（a，b-i，c-i）为表中的奇异局势。就从第二堆和第三堆各取i个，变为奇异局势，对方必输。
      如果找不到相等的，从d左面前一格开始，往左找，每次比较前，将c减去1，直到第一列。如果第i次发现相等了，那么（a-i，b，c-i）为表中的奇异局势。就从第一堆和第三堆各取i个，变为奇异局势，对方必输。
      如果找不到相等的，从d左上方第一格开始，沿着45度方向往左上找，每次比较前，将c减去1，直到第一列或第一行。如果第i次发现相等了，那么（a-i，b-，c-i）为表中的奇异局势。就从第一堆和第二堆以及第三堆各取i个，变为奇异局势，对方必输。
      奇异局势表的构造方法保证通过以上办法能够找到正确取法。

     例如：（7,8,10）
                 从7行8列看是24,24比10大。24上方、左方、左上方都没有10,24上方第一个不是10-1，第二个是10-2=8；因此正确抓法是从第一堆和第三堆各抓2个，变为（5,8,8）是奇异局势。
    例如：（4,6,17）
                从4行6列看是15,17比15大，从第三堆取走2个，变为（4,6,15）是奇异局势。
     例如：（4,6,9）
                从4行6列看是15,15比9大，从15往上看，第一个是9，因此从第一堆中取走1，变为（3,6,9）为奇异局势。
     例如：（4,6,10）
                从4行6列看是15,15比10大，从15往左上角查时发现，15左上角第2个是10，所以从第一、第二堆各取2个，变为（2,4,10）为奇异局势。
    例如：（4,6,6）
                从4行6列看是15,15比6大，从15往左上递减检查时发现，第一个查5，第二个查4，第三个查3，正好是3。因此从三堆中各取走3个变为（1,3,3）为奇异局势。

[ 本帖最后由 hubo5563 于 2010-8-20 17:16 编辑 ]

hubo5563

这个游戏是威佐夫博奕和尼姆博奕的推广，比这三个经典游戏难。
如果三堆变为两堆，就是威佐夫博奕，所以威佐夫博奕是这个游戏的特例。
如果只限从一堆中取，就是尼姆博奕。由于规则不同，所以尼姆博奕的奇异局势与本游戏不同。奇异局势没有异或和为0的性质。

[ 本帖最后由 hubo5563 于 2010-8-20 16:55 编辑 ]