为什么偶阶魔方有同态而奇阶魔方没有？

乌木

<P>纯色三阶时，每90°转算一步的话，一步态有12个（的确不必考虑转中层－－可以把转中层看作转了两个表层），每个一步态的12个动作中有一个回到0步态，余下11个动作，初步得到12×11＝132个二步态，接着要消除9个同态，比如UU态和U'U'态相同，UD态和DU态相同，等等。（这里二步态UU是一步态U的后代，而U'U'是U'的后代。UD是U的后代，而DU是D的后代，等等。）一共有18对同态。两个同态消去一个后留下的一个可以看作是两个一步态的共同后代。132－9＝123个二步态。</P>
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<P>总之，奇阶魔方也有同态问题，是否楼主的题目所说的“……而奇阶魔方没有”不是指我所说的三阶的同态？</P>

[ 本帖最后由 乌木 于 2008-3-6 21:31 编辑 ]

乌木

回复6楼：
与其叫那一幅幅图为“48同态图”，还不如叫“48同类图”或别的什么名字，以免读者误会。他用词不当，不是一个魔方态有48个同态，而是若干个魔方态及它们的部分同态按照某种规律结合在同一幅图中。还有，用“镜像”一词也很容易引起误会，他那“镜像”并非一个魔方状态及其镜像，否则就不是同一魔方了。用词不当，很不当！
比如，二步态R'U'所在的48态图及其消同态情况：
<IMG   alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/attachments/month_0803/20080304_50c2940f858a4a8b61d6IBz4hOjQHJpX.gif"  border=0>
也罢，本帖不必涉及“48态图”的，别去受绕了。
我上面借用三阶态树的头三层说明三阶也有同态，看来，冬兄所说的“奇阶无同态”不是说的这个。我先看看各位的发言，得先弄明白所讨论的究竟是什么问题。

[ 本帖最后由 乌木 于 2011-4-25 10:23 编辑 ]

乌木

<P>6楼说：“对于2N阶魔方，忍大师直接把它们放到2N+1阶上去研究也成，这样就有固定的中层了……”，那么，含有中心块的三个层就得不去转它们；或者，转了它们后，在比较两个态是否同态时，必须整体调整魔方方位，直到两个魔方的参照中心块组情况一致。此时，如果两个魔方的棱和角的情况完全一样而取向不同，一旦考虑中心块组，两个奇阶魔方的“棱－角－中心块”一起比较，情况就不可能一样了。棱角一致了，中心块组就不同；中心块组一致了，棱角就不同。确实和偶阶不一样。</P>
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<P>本帖是不是要问这现象该如何解释？我不会，但很有兴趣听你们议论。</P>

[ 本帖最后由 乌木 于 2008-3-7 00:31 编辑 ]

乌木

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原帖由 <I>noski</I> 于 2008-3-7 00:50 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=94068&amp;ptid=6568" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 看置顶贴说，奇数阶高阶含中心块的层里的块，叫做中棱块和直棱块。这一层不转，把中棱块和直棱块忽略掉，2N+1就成了带参照的2N阶。但是在理论上如何把取向不同的情况识别出来，就不知道了。。

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<P>我想，不转含中心块的层仅仅是为了不让中心块的位置状态变化，但其中的中棱块和直棱块还是会因其它层的转动而有所变化，对吗？只要六个中心块不变，两个状态的比较才有意义。</P>

乌木

我也这样认识。此外，那些“48态图”倒也不是说“状态的镜像”，也是说“操作的镜像”。我初步看下来并无状态的镜像，即，是同一魔方拧出来的。也不单单是整体旋滚就得到不同态，而是不同的整体旋滚之后，还要做不同的转层操作，再逆旋滚，才得到48个态。

乌木

<P>他的有些东西对我来说不易懂，那“48态图”，我也是横问竖问才知道了一点点其浅表的东西。究竟怎么回事，好多问题应该他来答的。至于他说的镜像，我和noski 兄一样，开始也以为是状态的镜像，折腾好久才知道原来是指对称的转层动作。</P>
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<P>至于对称动作得到的状态，同一状态分别经过对称的转层动作得到的两个新状态，我粗浅地琢磨下来，不会是互为镜像的。不知是不是这样？</P>

[ 本帖最后由 乌木 于 2008-3-8 11:03 编辑 ]

乌木

<P>有的问题我弄不懂的原因也因为我有关的数学基础差。</P>
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<P>我原以为“黑王子”的二阶态树“11步”和“3674160的总数”是对的，这么说来，“11步”也有问题？这倒要多加关注的。最好有关帖子能雅俗共赏－－既有很专业的论述，又有如我等看得懂的科普般的描述，尽管这其实不太容易的。</P>

[ 本帖最后由 乌木 于 2008-3-8 12:53 编辑 ]