三阶“限定180度旋转”和“只旋转中层”的状态数各是多少？

noski

<P>RT，对于三阶：</P>
<P>1、每个面只能做180度旋转，求它的总状态数；</P>
<P>2、只允许转动中层，求它的总状态数？</P>

noski

只允许180度转动状态集，26步那篇文章中说是663552个，消同态后有15752个，不知怎么算出来的。。

noski

问题一，回2楼、7楼：
角块分成2个四元环，棱块分成3个四元环，环间无交换，且不用考虑色向，故状态数：
24 * 24 * 24 * 24 * 2 ＝663552
最后一个乘以2是因为魔方不允许一个单独的二置换存在，故最后一个四元环只有2种情况。

问题二，回8楼：
赞同你的算法，4^3 * 12 = 768

noski

只看成5个四元环，不必分棱簇和角簇。一个四元环有4x3x2x1＝24种变化，而如果一个环不允许有二置换，那么只有2个变化：
1   2
4   3
和
3   4
2   1
魔方的性质约束了最后一个环的变化，所以是四个24和一个2。

noski

有道理，还是写成24^5/12比较好理解。即如果没有魔方性质的约束，那么就是24^5，而有了约束，则一个环一个环的还原，当还原到最后一个环时，只有1/12的机率是允许的。这就和组装三阶魔方一个道理。

noski

乌木老师果然厉害，我都没有细想这些，可能性不能一下子除以12，而是要棱块角块分开的。
按16楼的棱块编号，可能情况有4种：
1   3          3   1          5   7          7   5
5   7          7   5          1   3          3   1
正是4/24，即1/6。
再加上15楼指出最后一个角块四元环的24个状态中有12个是非扰动态，即1/2。
最后，正是“角块簇要除以2、棱块簇要除以6”，Cielo说的也很有道理，不过要稍稍改为：
（24^2 / 2）×（24^3 / 6）＝24^5 / 12

noski

呵呵，说得我也晕了。这里不要叫扰动态了吧，因为180度转出来的都是非扰动的，不是一个定义。另外，能搭配出来的状态，用180度转动都能还原吗？比如角块两个环全还原了，棱块两个环全还原了，最后一个棱块环有一个三循环，那这个状态用180度转动可以还原吗？可以探索一下。。

noski

(R2U2R2F2)2
好公式。。看来我17楼说的不对了。。

noski

补充个资料：
只使用180度转动：
Analysis of the 3x3x3 squares group
-----------------------------------
Moves Deep         Arrangements
   0                    1
   1                    6
   2                   27
   3                  120
   4                  519
   5                1,932
   6                6,484
   7               20,310
   8               55,034
   9              113,892
  10              178,495
  11              179,196
  12               89,728  
  13               16,176  
  14                1,488  
  15                  144   
                  -------      
                  663,552  

只旋转中层：
Analysis of the 3x3x3 Slice Groups
----------------------------------
Moves Deep   Arrangements
  0               1
  1               9
  2              51
  3             247
  4             428
  5              32
                ---
                768
-----------------------------------------
任何一个有自知之明的人都不贩卖所谓48同态，何况是伪循环变换理论（注：即众所周知的相似变换）的作者

[ 本帖最后由 pengw 于 2010-1-13 11:02 编辑 ]