“有多少种涂色方法”

阿猪

doctorli

如果是立方体,一个面四个棱,那共用一条棱的面都不同颜色,至少得有四种和此面不同的颜色啊,至少5种颜色才够用的啊?魔方要是4种颜色,就一定有相邻两面同色的情况.

毕业太久了,已经忘了什么叫平行六面体了,立方体算其中一种吗?大家别见笑啊

kexin_xiao

不明白，学习中

金眼睛

<P>也来谈谈对这个问题的看法：&nbsp;</P>
<P>&nbsp;</P>
<P><STRONG>1：对于一个平行六面体，像魔方一样，先规定出UDLRFB各个面。</STRONG></P>
<P><STRONG></STRONG>&nbsp;</P>
<P>如果U和D颜色相同，则LRFB分为两种情况，一种是LR，FB分别同色，一种是有一对同色，另一对异色。 </P>
<P>UD颜色相同涂色方法数=UD颜色可能情况*(LR颜色可能情况*FB颜色可能情况+(LR，FB谁一对同色)*同色颜色的可能情况*剩下面颜色排列情况)</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; =C(4,1)*(C(3,1)*C(2,1)+C(2,1)*C(3,1)*P(2,1))</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; =4*(3*2+2*3*2)</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; =72种</P>
<P>如果U和D颜色不同，则LRFB必然各自同色，因为只剩下两种颜色了。</P>
<P>UD颜色相异涂色方法数=UD颜色排列情况*LR颜色可能情况</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; =P(4,2)*C(2,1)</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; =4*3*2</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; =24种</P>
<P>因此，对于平行六面体来说，涂色的总方法数为72+24=96种。</P>
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<P>前面有人认为UD颜色不同的时候，UD可以交换位置，我个人认为是不可以的，这个问题有待讨论。</P>
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<P>我的理由如下，假设将平行六面体的LR面涂成红色，FB面涂成蓝色，U面为黄色，D面为绿色。当我们从上向下俯瞰U面的时候，假设看到的是L，F，U三个面，则在三个面的交点处，红-&gt;蓝-&gt;黄，是呈逆时针方向；当UD颜色交换后，一定是将平行六面体翻转过来，这时候露出的R，B，D三个面交点处，红-&gt;蓝-&gt;黄，是呈顺时针方向，所以UD颜色交换的效果不同。</P>
<P>&nbsp;</P>
<P><STRONG>2：对于其他特殊的平行六面体，需要分别计算，也是利用排列组合的原理，其中包括：</STRONG></P>
<P>&nbsp;</P>
<P><STRONG>U面是菱形，棱线垂直于U面的情况：</STRONG>C(4,1)*(C(3,2)+C(3,1))+P(4,2)=4*(3*2/2+3)+4*3=24+12=36种。</P>
<P>&nbsp;</P>
<P><STRONG>U面是正方形，棱线垂直于U面的情况：</STRONG>C(4,1)*(C(3,2)+C(3,1))+C(4,2)=4*(3*2/2+3)+4*3/2=24+6=30种。</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>注：这两种情况的区别在于，正方形可以在90度旋转下保持形状，而菱形只能180度旋转，差别在UD颜色相异的情况。</P>
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<P>棱形UD相异12种 UDLRFB：</P>
<P>123344-124433-132244-134422-142233-143322-231144-234411-241133-243311-341122-342211</P>
<P>正方形UD相异6种 UDLRFB：</P>
<P>123344-132244-142233-231144-241133-341122</P>
<P>&nbsp;</P>
<P><STRONG>正方体：</STRONG>三组相同+两组相同&nbsp; C(4,3)+C(4,2)=C(4,1)+C(4,2)=4+4*3/2=4+6=10种。</P>
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<P>正方体的方法前面已经有人给出了，我只好给结果了，o(∩_∩)o...</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>正方体10种 UDLRFB：</P>
<P>112233-112234-112244-112344-112433-113344-123344-132244-142233-223344</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>顺便说一句，每种情况正方体UDLRFB涂色可以变化，但它们被视为一种涂色方法。对于正方体的每个角，如ULF面形成的角，它可以在八个角的任意位置，同时可以进行三种旋转，变化数为二十四。</P>

[ 本帖最后由 金眼睛 于 2008-5-27 13:08 编辑 ]

kexin_xiao

高三的排列组合，想起来了，20年了都忘了，呵呵