跑步器－－脚的轨迹－－给中学生做个小题

乌木

小区健身器材－－跑步器上两个脚若看作横杆的两个点的话，每个脚的运动轨迹是什么？下图示意性地画出了半架跑步器，脚下的横杆后端作圆周运动，横杆前端沿一段圆弧往复运动。请中学生证明一下脚的轨迹，再自定一些已知条件后计算一下该轨迹的参数。
                        

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-5-25 09:40 编辑 ]

乌木

原来我认为答案是“一个椭圆”，最近问了Z.Yu.先生，他认为不是椭圆，而是“蛋形”。我请他抽空写些东西出来，我争取贴出来。
先告知各位魔客一下，有兴趣者不妨也做做看。

[此贴子已经被作者于2005-8-29 10:19:54编辑过]

乌木

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2009-5-25 09:54:06 上传

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跑 步 器

不妨先看看简单一些的情况，即连杆的一端做的是直线往复运动。

题：连杆长度PQ＝k, 连杆上任意取一点G，PG＝b,GQ＝a。P点沿半径为r的圆O做圆周运动，Q点在滑槽中做水平往复运动。求G点的运动轨迹。

                     

*通常认为答案是椭圆，经求解可看出与椭圆有偏差，严格说是“蛋形”曲线。

解：不难看出，G点轨迹的“长轴”AB的中点O’（在X轴上）离圆心O的距离OO’＝b。（∵OA＝b－r，OB＝b＋r，∴OO’＝（b－r＋b＋r）/2＝b。）

现改以O’为坐标原点。

G点的坐标为：

X＝r cosα＋b cosβ- b    ………………………………（1）

Y＝a sinβ      ……………………………………………（2）
α和β间的约束关系为：
r sinα＝k sinβ    …………………………………………（3）
故可得参数方程组：
    x＝r cosα- b(1- cosβ)   ………………………………（4）
    y＝(ar/k) sinα   …………………………………………（5）
其中  
cosβ＝｛1-[(r/k)sinα] ²｝^(1/2)    ……………………（6）
消去参数即得轨迹方程：
    x＝r[1-k ²  y ² / (a ²  r ²)] ^（1/2） - b｛1-[1-y ² / a ² ] ^（1/2） ｝   ……………（7）
这是个四次方程，不可能是椭圆。
讨论：由式（5）得y的极大值y_max＝(+/-)ar/k，代入式（7），得y极大值对应于x轴上的位置 x_m＝－b［1－（1－r ² /k ²）^1/2］；
因为实际跑步器中k≥r，所以0＜[1－（1－r ² /k ²）^1/2 ]≤1,所以，G点轨迹的顶点的x坐标x _m ＜0，即在O’点的左方。可见，G点轨迹是个偏离椭圆的“蛋形”，其大头向O点，小头向Q点。
如果假想去掉式（4）右边的第二项，可得：
    x＝r cosα
    y＝(ar/k) sinα
即  x ² /r ² ＋y ² /(ar/k) ² ＝1，这是个椭圆方程。它的四个顶点和上述蛋形曲线的四个顶点大小相同。所以由x _m 的大小（x _m 的绝对值正比于b）可以推想出蛋形曲线偏离椭圆的情况。而b的大小又决定了O’点的位置和蛋形的上下高度。b越大，O’越近Q；但a越小，蛋形高度越小。
对于原题中Q点作圆弧运动的情况，有时间再写，好像比“蛋形”又复杂一些。
                                                                                 Z.Yu.  05.8.31.

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-5-25 10:30 编辑 ]

xinru

乌木前辈酷毙！！！[em17][em17][em17]

乌木

文不是我写的，我只是贴贴而已。

xinru

以下是引用乌木在2005-8-29 10:18:14的发言：

原来我认为答案是“一个椭圆”，最近问了Z.Yu.先生，他认为不是椭圆，而是“蛋形”。我请他抽空写些东西出来，我争取贴出来。
先告知各位魔客一下，有兴趣者不妨也做做看。

为什么Z.Yu.先生不来魔坛发言呢？很忙吗？我很想见识一下Z.Yu.先生与G老师和您以及各位魔界资深魔客在魔坛{论魔}[em01][em01][em01]