圆上作弦的概率问题

钟七珍

　
　　在半径为1的圆内随机地取一条弦，问其长度超过圆内接等边三角形的边长的概率是多少？
　
　　我搜集到有七种解法。但哪种方案才是合理的呢？

钟七珍

　
　　解法一： 任何弦交圆周两点。不失一般性，先固定其中一点，则弦的另一端只有位于此固定点正对的1/3圆周长的弧内才满足要求，所以概率是1/3 。

钟七珍

　
　　解法二：弦长只与它到圆心的距离有关。因此满足要求的弦和与之垂直的直径的交点到圆心的距离必须大于1/2，而直径长为2，所以概率是1/2

钟七珍

　
　　解法三：弦的中心点必须位于半径为1/2的同心圆之内才满足要求。而此圆的面积是大圆面积的1/4，故所求的概率是1/4 。

钟七珍

　
　　暂时列出三种解法。而这三种解法的最终结果不一致。到底哪一种方案才是正确的呢？才合理呢？才符合题意要求呢？

钟七珍

　
　　９楼的Cielo朋友点到了本题的关键之处！
　　“在圆内随机地取一条弦”。不同的取弦方法，就引出了不同的解法。问题是哪一种取弦方法更符合“随机地取”这一要求呢？

钟七珍

<P>　　</P>
<P>　　解法四：</P>
<P>　　这是我的解题思路。</P>
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<P>　　为了最大限度地满足“随机取”、“任意取”这一要求，我把取点范围放到无限平面上。但为了保证作出的直线与圆相割，所以必须至少把其中一个点放在圆平面内，而把另一个点的取点范围放在包括圆内和圆外的整个无限平面上（两点式）；或者先在圆内任取一点，再过此点的任意方向作直线（点斜式）。这两种画线方式是等效的。这样就能作出一条弦。然后再用积分算出这条弦长大于圆内接正三角形边长的概率。　　</P>
<P>　　解法四最大限度地满足了题目要求：“在半径为1的圆内随机地取一条弦”。顺带提一句：前面三种解法都没有考虑到圆外也是取点区域。</P>
<P>　　我作出的结果是：6π分之(3倍根号3加2π)。 6π分之(3倍根号3加2π)的计算结果≈0.60900＞3/5＞1/2。</P>

[ 本帖最后由 钟七珍 于 2008-4-15 12:36 编辑 ]

钟七珍

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<P>　　解法五：这是我想到的又一个解题思路。</P>
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<P>　　在圆内随机任取两个点，把作割线所需的两个点的取点区域都放在圆平面内。这样所作的弦“其长度超过圆内接等边三角形的边长的概率”肯定又是另一种结果。究竟是多少？我没有计算过。但与解法四相比，取点范围受到了限制，不能最大限度地满足了“随机”、“任意取”这一要求。</P>

[ 本帖最后由 钟七珍 于 2008-4-15 12:35 编辑 ]

钟七珍

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<P>　　解法六：</P>
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<P>　　先在圆周上任取一点，然后过此点作任意方向的直线，直线与圆相割得到一条弦。最后通过对弦长的分析计算，从而得出了“弦长大于圆内接等边三角形的边长的概率为1/3”的结果。</P>
<P>　　这个结果与解法一的结果完全相同！不同的解题思路、不同的作图方法，而计算结果居然一样！不知大家思考过是何原因没有？</P>
<P>　　解法六的错误之处与解法一同出一辙：它把平面作图所需点的选点范围局限在圆周线上，不能最大限度地满足“随机取”、“任意取”的要求。</P>
<P>　&nbsp;　</P>