圆上作弦的概率问题

appletree444

我定义均匀的大前提：一个面内的点都是密度均匀分布的，即是说无论我们在这个面内任取某一小块，其密度都是一样的；而且任取相同面积不同形状的两块，它们各自所包含的点应该算是一样多的。从这个意义上讲，圆内各点应该是均匀分布的。而且从这个意义上来说一个大圆所包含的点比一个小圆所包含的点多。（虽然无穷多确实是比较不了大小的，但是我的定义是）
对于解法三，其实我觉得从下面这个意义上它符合一对一原则：过一条弦作圆心的垂线，这条弦和与之相交的垂线的垂足（弦的中点）就和这条弦一一对应。即从圆上任意取一点，以这点为垂足就可得到对应的一条弦；反之，任取一条弦，那么也就确定了它过圆心的垂线的垂足。那么用面积的方法算，得到的答案确实是1/4。

再反观解法二，举例说，到圆心距离为0.75的弦有无数个，把这些弦都用它的中点（即垂足）一一对应，其垂足点组成的圆轨迹我们称作大圆A。同样道理我们把到圆心距离为0.25的弦的中点组成的圆轨迹称作小圆B。我们从上述均匀的意义出发，并不能得出A上的点和B上的点一样多的结论（假如作一条大圆A的半径AD过B教于C，然后说这样大圆上的点D就和小圆上的点C一一对应，所以大圆上的点就和小圆上的点数一样多，这样会造成圆心处的点很密集，而离圆心越远则点越疏，这样我觉得是违背上面的密度均匀分布论的）。所以解法二从这个角度来说就站不住脚。

最后反观解法一，如图，在中间的60度角的范围内，由于弦AB和弦AC并不一样长，根据解法二的分析，弦AB与弦AC出现的概率是不等的。所以在上述定义的均匀分布的大前提下，解法一是不可取的。

[ 本帖最后由 appletree444 于 2010-1-27 13:07 编辑 ]