证明题：四维是最麻烦的维度

咖啡味的茶

最近在研究高维魔方理论发现了一个现象：在所有维度的二阶魔方中（注意，不包括二维或者一维魔方，因为不存在），任意“拼装”的魔方复原概率最小的是四维二阶。
下面是复原可能性表：
三维二阶：1/3     限制条件：二元换--可能  任意交换方向--不可能  限制条件仅为方向
四维二阶：1/6     限制条件：二元换--不可能  任意交换方向--不可能  限制条件既有位置，也有方向
大于五维二阶：1/2    限制条件：二元换--不可能   任意交换方向--可能  限制条件仅为位置
从数据看来，我们知道五维或者以上的空间是最方便的，任意性最大，另外加一句，大于等于五维的“正”几何形（学名是正多胞体）只有三种，一种是高维立方体；第二种是单形（就是三角形，四面体的高维类比）；第三种是正轴体，高维立方体的对偶体，或者看做是正八面体的高维类比（对这些概念有兴趣自己去维基一下）。这种统一的性质是巧合吗？哈哈，这个我们无从得知。
三维的正几何体有五种，分别是正四面体，正八面体，正六面体，正十二面体，正二十面体。四维的正多胞体有正五胞体（四面体类比），超正方体（立方体类比），正十六胞体（正八面体类比），正二十四胞体（无三维类比），正一百二十胞体（正十二面体类比），正六百胞体（正二十面体类比）。
我们可以得知，正多胞体的数目随着维度并不是一直下降的，反而是在四维有一个突起。
也许正是因为这种原因，生物最初的存在和我们的意识形态都适应于三维：第一，五维以上的空间过于普遍，没有方向限制使得所有的存在状态都成为可能，使得物体无法存在一个固定的状态，所以不适合定向去理解事物；第二，四维又相对于三维限制过多。最重要的是，三维魔方是最简单，最基础的魔方（因为不存在二维）。
这仅仅是一些胡思乱想，希望可以加强魔友对高维空间的感性认识。

tengda

楼主好精力，完全不懂的人偷偷路过。

schuma

(1) 我觉得这个网页的MC2D就确实是普通三阶魔方在2D的对应物:
http://www.superliminal.com/cube/mc2d.html (就是MC4D网站的一页)
的确很简单就是了。然后二阶就只看它的角吧

(2) 维数比较低的时候事情比较复杂，这是个比较普遍的现象。拓扑学有个重要的分支就是低维拓扑学 <http://en.wikipedia.org/wiki/Low-dimensional_topology>。之所以它能单分出来，就是因为有许多结论只在维数高于4或5的时候成立，但维数比较低的时候不成立。有许多问题在低维的情况下没被证明，反倒在高维的情况下被证明了。

[ 本帖最后由 schuma 于 2011-6-28 04:24 编辑 ]

栋梁

对高维魔方实在难以想象，要是楼主能给点直观的例子就好了

咖啡味的茶

原帖由 schuma 于 2011-6-28 03:56 发表
(1) 我觉得这个网页的MC2D就确实是普通三阶魔方在2D的对应物:
http://www.superliminal.com/cube/mc2d.html (就是MC4D网站的一页)
的确很简单就是了。然后二阶就只看它的角吧

(2) 维数比较低的时候事情比较复杂 ...

二维魔方的确还是不存在。你仔细体会一下这个魔方你会发现这个类比根本不是“转动”。

乌木

“ggglgq”给出过一个动画，我觉得有助于理解四维立方体。

一维，只能做出一条线段a；
二维，可以按照规律做出一个axa的正方形；
三维，按照同样的模式可做出axaxa的立方体。
画在平面上的立方体，立体感画得好的话，我们仍然理解它每根棱长度都是a，两根相交的棱是垂直的，一个顶点上有三根相互垂直的棱，六个正方形构成一个正六面体。这就是三维物体在二维中的表达。
四维，在三维立方体的基础上，按照相同模式，8个顶点再长出8根长度都等于a的棱，再把新的8个端点用长度都是a的12根线段联结起来，就得到四维正方体了。它的32根棱长度都是a，两根相交的棱都是正交的，一个顶点上有四根相互正交的棱，由8个相同的三维立方体构成一个四维正方体。它在三维空间的投影最好让它运动起来，只是能运动的三维模型不容易做出。
ggglgq给出的下图是进一步把它画在二维的屏幕上，并让它动起来。看得出，由8个三维立方体构成一个四维正方体，是否可以叫“正八胞体”？
      

立方体的投影方式不少，下图右面一种常用于看立方体的内部，比如看一个房间内的天花板、地板和三面墙壁，
这种投影同样表示六个正方形组成一个立方体（正六面体）。
我要说的是，下图右面的投影和上面动画所表示的四维立方体（正八胞体）在三维空间的投影，方式多么相似！
   





[ 本帖最后由 乌木 于 2011-7-4 17:45 编辑 ]

谢老师

强大！好难理解！正在理解中！

Donald_LYC

六年级的我完全不懂。。。。。。。

ZJY

四维是这样的啊。。。我脑子比较笨。。。

乌木

我想，那动画也只是帮助理解四维空间几何体，并非四维立方体就是那种样子的（比如，它不动的话，又该是什么样子呢？）。我们三维人不容易想象四维东西。
正像三维立方体在三维空间可以做出实际的模型，但是在二维平面中，是不可能做出三维东西的，只能让三维东西投影到二维，在我们的头脑中对这种投影图加工之后，想象出三维东西。但是“二维人”就不可能理解这种投影图。
我们三维人看了四维立方体的三维投影或二维投影，还是不容易想出四维立方体究竟是什么样的，只能推理出它的一些性质。

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此外，三维东西在二维平面中的投影，弄不好我们的头脑加工后会出错。比如，最近看到下面这个图片，我就奇怪：怎么图中最近的这一家向南、向东开两个大门？沪上有这种事吗？


我就“百度”了更多的有关图片，明白了，这一排是五家，每家一个大门，最近的这一家遇到马路转角，其大门只好向东南方向开了。




[ 本帖最后由 乌木 于 2011-6-28 13:26 编辑 ]