证明题：四维是最麻烦的维度

咖啡味的茶

最近在研究高维魔方理论发现了一个现象：在所有维度的二阶魔方中（注意，不包括二维或者一维魔方，因为不存在），任意“拼装”的魔方复原概率最小的是四维二阶。
下面是复原可能性表：
三维二阶：1/3     限制条件：二元换--可能  任意交换方向--不可能  限制条件仅为方向
四维二阶：1/6     限制条件：二元换--不可能  任意交换方向--不可能  限制条件既有位置，也有方向
大于五维二阶：1/2    限制条件：二元换--不可能   任意交换方向--可能  限制条件仅为位置
从数据看来，我们知道五维或者以上的空间是最方便的，任意性最大，另外加一句，大于等于五维的“正”几何形（学名是正多胞体）只有三种，一种是高维立方体；第二种是单形（就是三角形，四面体的高维类比）；第三种是正轴体，高维立方体的对偶体，或者看做是正八面体的高维类比（对这些概念有兴趣自己去维基一下）。这种统一的性质是巧合吗？哈哈，这个我们无从得知。
三维的正几何体有五种，分别是正四面体，正八面体，正六面体，正十二面体，正二十面体。四维的正多胞体有正五胞体（四面体类比），超正方体（立方体类比），正十六胞体（正八面体类比），正二十四胞体（无三维类比），正一百二十胞体（正十二面体类比），正六百胞体（正二十面体类比）。
我们可以得知，正多胞体的数目随着维度并不是一直下降的，反而是在四维有一个突起。
也许正是因为这种原因，生物最初的存在和我们的意识形态都适应于三维：第一，五维以上的空间过于普遍，没有方向限制使得所有的存在状态都成为可能，使得物体无法存在一个固定的状态，所以不适合定向去理解事物；第二，四维又相对于三维限制过多。最重要的是，三维魔方是最简单，最基础的魔方（因为不存在二维）。
这仅仅是一些胡思乱想，希望可以加强魔友对高维空间的感性认识。

黑白子

三维空间可以建立空间直角坐标系，四维空间怎么建立直角坐标系？世界上真的存在四维空间吗？

至尊达哥

这样理解高维空间会消减难度，希望对大家有所帮助。

四维立方体想象图


五维立方体想象图

肥嘟嘟左卫门

有点不懂楼主说的什么  顶一个  让更多人看到  来解释

玉逸风

看不懂的路过。。。。。。。。。。。。。

csgg

想破脑子也是没用的东西………………

Cielo

原帖由 schuma 于 2011-6-28 03:56 发表 ...有许多问题在低维的情况下没被证明，反倒在高维的情况下被证明了。

确实，貌似庞加莱猜想就是这样~

羽篮乒

好深奥...不懂...太难了

jinxian

原帖由 咖啡味的茶 于 2011-6-28 23:53 发表
当你说是“抽象”的时候说明你已经承认有所去区别了

　　
　　
  
    本不想再回帖子了，又想再最后“罗嗦”几句算了。
  
    我说的“转动”是有“中心对称”性质的变换。
  
    对于直线来说，“中心对称”的是“中心点”；对于平面来说，“中心对称”才有“中心轴”；
  
对于三维以上的空间来说，“中心对称”的“中心轴”就更多了！它们之间当然互相都有“区别”！
　　
　　　　
　　　　
　　　　
　　

schuma

我一共没编过几个程序，当然记得我编的Rubiks Square。只是它更接近于三维的魔方，而不是真正二维的类比。一个数学问题而已，真不用提什么真理来上纲上线。

说到旋转镜像之类的，严格说来是这样的：n维实数线性空间里的正交变换，对应的矩阵就是正交矩阵了，构成的群叫O(n)。正交变换分为两类，矩阵特征值为+1的和-1的。矩阵特征值是+1的变换构成的群叫特殊正交矩阵群，表示纯旋转，SO(n)。矩阵特征值是-1的那些代表镜像以后再旋转，是O(n)里不属于SO(n)那部分。以上说法对n=1,2,3,...都成立。所以我们定义n维魔方可以用这些符号来。

理论上讲，我们可以考虑两类n维魔方：A: 只允许旋转(SO(n))的魔方和 B: 允许旋转和镜像(O(n))的魔方。这两类都是数学上有良好定义的迷题，我都想玩。咱们来看看咱们熟悉的3x3x3是哪一类。

咱们熟悉的3x3x3，允许的操作是纯旋转，不允许镜像。原因是因为物理世界让我们没法做镜像操作。所以它属于A类。

Superlimial里画的二维魔方，用到了镜像，矩阵是
(1, 0)
(0,-1)
这样的，特征值为-1。所以它属于B类，跟3x3x3不是一类的。superlimial上的2D魔方前面的说明也说的很清楚，只是为了让它能玩，考虑了镜像，并且说明了这不是严格的对应。

由于以上原因，superlimial里的魔方不是普通3x3x3的二维对应物。我相信楼主最初说二维魔方不存在，也是这个意思。

另外，如果有哪个程序模拟B类3x3x3魔方的话，我想试试。不过难度应该和普通3x3x3差不多吧。

参考:
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E4%BA%A4%E7%9F%A9%E9%98%B5

[ 本帖最后由 schuma 于 2011-6-29 02:47 编辑 ]