证明题：四维是最麻烦的维度

schuma

(1) 我觉得这个网页的MC2D就确实是普通三阶魔方在2D的对应物:
http://www.superliminal.com/cube/mc2d.html (就是MC4D网站的一页)
的确很简单就是了。然后二阶就只看它的角吧

(2) 维数比较低的时候事情比较复杂，这是个比较普遍的现象。拓扑学有个重要的分支就是低维拓扑学 <http://en.wikipedia.org/wiki/Low-dimensional_topology>。之所以它能单分出来，就是因为有许多结论只在维数高于4或5的时候成立，但维数比较低的时候不成立。有许多问题在低维的情况下没被证明，反倒在高维的情况下被证明了。

[ 本帖最后由 schuma 于 2011-6-28 04:24 编辑 ]

schuma

原帖由 咖啡味的茶 于 2011-6-28 09:42 发表


二维魔方的确还是不存在。你仔细体会一下这个魔方你会发现这个类比根本不是“转动”。

嗯，我想了想，你说的有道理。三维四维说的旋转都不带镜像的，那个二维非得是镜像才能动。如果只允许旋转就没法拧了。一维也是一样，就算定义了也没法拧。

schuma

我又去 http://www.superliminal.com/cube/mc2d.html 看了一下。那个网页一上来确实说，只看旋转的话是没法转的。为了让它有意思一点，就允许一下镜像，所以类比不是严格的。我开始没仔细这个了，或许是以前看过但是忘了。但总之你完全是对的！

schuma

我一共没编过几个程序，当然记得我编的Rubiks Square。只是它更接近于三维的魔方，而不是真正二维的类比。一个数学问题而已，真不用提什么真理来上纲上线。

说到旋转镜像之类的，严格说来是这样的：n维实数线性空间里的正交变换，对应的矩阵就是正交矩阵了，构成的群叫O(n)。正交变换分为两类，矩阵特征值为+1的和-1的。矩阵特征值是+1的变换构成的群叫特殊正交矩阵群，表示纯旋转，SO(n)。矩阵特征值是-1的那些代表镜像以后再旋转，是O(n)里不属于SO(n)那部分。以上说法对n=1,2,3,...都成立。所以我们定义n维魔方可以用这些符号来。

理论上讲，我们可以考虑两类n维魔方：A: 只允许旋转(SO(n))的魔方和 B: 允许旋转和镜像(O(n))的魔方。这两类都是数学上有良好定义的迷题，我都想玩。咱们来看看咱们熟悉的3x3x3是哪一类。

咱们熟悉的3x3x3，允许的操作是纯旋转，不允许镜像。原因是因为物理世界让我们没法做镜像操作。所以它属于A类。

Superlimial里画的二维魔方，用到了镜像，矩阵是
(1, 0)
(0,-1)
这样的，特征值为-1。所以它属于B类，跟3x3x3不是一类的。superlimial上的2D魔方前面的说明也说的很清楚，只是为了让它能玩，考虑了镜像，并且说明了这不是严格的对应。

由于以上原因，superlimial里的魔方不是普通3x3x3的二维对应物。我相信楼主最初说二维魔方不存在，也是这个意思。

另外，如果有哪个程序模拟B类3x3x3魔方的话，我想试试。不过难度应该和普通3x3x3差不多吧。

参考:
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E4%BA%A4%E7%9F%A9%E9%98%B5

[ 本帖最后由 schuma 于 2011-6-29 02:47 编辑 ]