正多面体的欧拉公式证明(不禁想到魔方)

咖啡味的茶

忽然想到欧拉公式在高维情况的推广。我发现一个非常简单可以证明欧拉公式的想法，甚至不需要什么高深的数学知识，也不需要很多情况分类：
要让一个多面体拓扑到一个平面上，我们需要先“取下”一个面，然后平铺到一个平面上（因为封闭的三维图形无法“平铺“）。然后在这个平面上，可以保持棱数，点数和面数不变。也就是我们需要证明，在平面上任何平面图形组合都满足V-E+F=1（因为取下了一个面，所以2被1代替）。
那么，一堆平面图形组合又可以看做是用某些方法分割了这个”多边形“。
首先，每一个多边形都满足V-E+F=1，因为V和E永远相等，F的数目是1。注意到，将线段分成两段需要一个点，将一个平面图形分成两块需要两条线段。假设我们任意分割这个多边形，我们需要用”点“分割线段，所以当E多了1，V也会多1，所以它们的差值不变；我们需要用”线“去分割面，所以当F多了1，E也会多一，所以它们的差值也不变。
所以，我们如何分割这个多边形也好，V，E，F永远满足V-E+F=1。
原命题得证。