球面上的四只蚂蚁

c349694018

感觉过程类似阿基米德螺旋线的形成- -不过这是3维的
不过这个最终轨迹形成的图案应该具有自相似性，且最终图案应当是个封闭的（或者具有一个实际不存在的交点？）
水平有限- -只是一点自大的猜测

Bleachmoon24

在运动中如B蚂蚁在运动时A蚂蚁的路线在不断改变，则若ABCD不在一个圆上的话四者的路线都会是不规律的？...那样应该是个收缩型的路线吧.....so那样的话应该会碰到一起的....

[ 本帖最后由 Bleachmoon24 于 2011-9-1 18:12 编辑 ]

Cielo

原帖由 华容道 于 2011-9-1 06:30 发表
将正四面体翻滚一下可以看出A、B两只蚂蚁的条件是对称的，因此这两只蚂蚁的路径是对称的。所以这四只蚂蚁的运动路径两两全等或对称，进而得到“若四只蚂蚁会与一点，则此点必与四只蚂蚁的出发点的球面距离是相等的” ...

我认为路径需要全部全等才行，光对称是不足以保持正四面体的。
在17楼我也说过我的想法。

lulijie

建立空间坐标系，
以D点为北极点，坐标(0,0,1)
那么ABC构成的平面平行与赤道，假设A点的y坐标为0，那么
初始各点的坐标如下：   sqrt()表示根号
A( sqrt(8) / 3,0, -1 / 3)
B(-sqrt(2) / 3,-sqtr(6) / 3, -1 / 3)
C(-sqrt(2) / 3,sqtr(6) / 3, -1 / 3)
D(0,0,1)
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用计算机模拟蚂蚁变化过程，最小间隔时间设为dt。
那么dt值取得越小，那么变化过程越精确。
发现最后4只蚂蚁不是汇聚于一点(-sqrt(6)/6,-sqrt(2)/2,sqrt(3)/3),就是汇聚于一点(sqrt(6)/6,sqrt(2)/2,-sqrt(3)/3)。
取不同的dt值，最终汇聚的点不一样，这两点刚好关于球心对称。这有点奇怪，可能与中间曾出现4只蚂蚁和球心近似于共面的情况有关。（完全共面的话，应该是绕着这个面无限循环）。由于电脑计算是有有效数字的，不可能完全精确共面。可能这种近似共面非常不稳定，很快就会离散开这个面，由于计算的误差，造成汇聚的点不同。
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所以4只蚂蚁到底汇聚于哪一点，或还是在某个平面无限循环，有待精确计算。
有空我分析分析，不同的dt取值，造成不同的结果，到底是在中间过程什么地方出现分道扬镳的，再判断哪种结果是正确的。

lulijie

dt=0.001

红图是A蚂蚁爬行过程的xy平面上的投影，
蓝图是A蚂蚁爬行过程的xz平面的的投影，
汇聚总共花费时间约37

暴力打开

不靠谱，如果到一点，这个点是哪都不对称，是这个点凭什么不是该点旋转60度的对应点？

Cielo

原帖由 lulijie 于 2011-9-3 01:00 发表
发现最后4只蚂蚁不是汇聚于一点(-sqrt(6)/6,-sqrt(2)/2,sqrt(3)/3),就是汇聚于一点(sqrt(6)/6,sqrt(2)/2,-sqrt(3)/3)。
...

这现象很有趣，难道是混沌……

原帖由 暴力打开 于 2011-9-3 01:13 发表
不靠谱，如果到一点，这个点是哪都不对称，是这个点凭什么不是该点旋转60度的对应点？

仔细看看，那是个有向空间四边形，貌似没有60°的旋转对称吧？

123wyx

原帖由 lulijie 于 2011-9-3 01:00 发表
发现最后4只蚂蚁不是汇聚于一点(-sqrt(6)/6,-sqrt(2)/2,sqrt(3)/3),就是汇聚于一点(sqrt(6)/6,sqrt(2)/2,-sqrt(3)/3)。

真有意思，这很奇怪，期待精确解。
没能力计算了，继续关注。

lulijie

建立空间直角坐标系，
初始各点的坐标如下：   sqrt()表示根号
A( sqrt(8) / 3,0, -1 / 3)
B(-sqrt(2) / 3,-sqtr(6) / 3, -1 / 3)
C(-sqrt(2) / 3,sqtr(6) / 3, -1 / 3)
D(0,0,1)
最短计算时间间隔dt=0.0001
黑线是A的运行轨迹图，
蓝线是B的运行轨迹图
红线是C的运行轨迹图
绿线是D的运行轨迹图
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图1是时间运行5.8时的轨迹图。
t=5.8时
A的坐标：0.904389813556976,-0.221282829232082,0.364846508308092
B的坐标：0.129370100716922,-0.672583138849374,-0.728625622922521
C的坐标：-0.902674536806781,0.224253775712471,-0.367272275951517
D的坐标：-0.13108537746854,0.669612192366583,0.731051390567817
ABCD从初始分散，逐渐运行到在一个斜向的大圆上运行
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图2时间运行31时的轨迹图。
t=31 时：
A的坐标：.877821046086536,-.31855445480733,.357705563818336
B的坐标：3.90512772266487E-02,-.704747705869784,-.708382431201317
C的坐标：-.937755550854773,.214744847421119,-.272945374321357
D的坐标：-9.89857819916556E-02,.600938098483179,.793142620700073
ABCD已经开始从那大圆轨道上散开
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图3时间运行34.8时的轨迹图。
t=34.8 时：
A的坐标：-.408226901312468,-.707071993519018,.577407995290875
B的坐标：-.408187386267323,-.707142695013368,.577349345354676
C的坐标：-.408269677665463,-.707141565318317,.577292540137227
D的坐标：-.408309192685858,-.707070863706438,.577351190234896
ABCD已基本汇聚与一点。
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lulijie

1.当球心在ABCD构成的椎体外部时，ABCD将很快彼此距离越来越近，最后汇聚于一点；
2.当球心在ABCD构成的椎体内部时，球心将逐渐向椎体的表面移动，当到达某一表面时，恰巧椎体的另外一个顶点刚好与该表面共面（及4个顶点和球心五点共面），那么ABCD将在这个面上无限循环运动；
3.否则球心将移到椎体的外部，按照第一种情况的变化，很快汇聚于一点。
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对于楼主的情况：根据计算机模拟的情况，ABCD在一个基本相同的轨道上足足运行了4圈后，才逐渐快速的汇聚一点。
所以楼主的四个点ABCD是按照第2种情况运行，还是按照第3种情况汇聚于一点（本来五点共面的，由于误差的积累造成不共面？）
dt=0.001和dt=0.0001的汇聚点不同，很可能就是计算误差造成的，
若球心从椎体的上面移出，ABCD将汇聚于下半球；
若球心从椎体的下面移出，ABCD将汇聚于上半球；
五点基本共面的情况下，由于计算误差，球心偏离在上面或下面一点点，就造成结果的迥然不同。