球面上的四只蚂蚁

Cielo

平均分布是指成一正四面体吗？

但这样的话，追逐的时候四只蚂蚁的地位是不对称的吧，纠结……

Cielo

原帖由 6504839 于 2011-8-29 14:29 发表
感觉有好多好多的情况....... 题目不好

利用正四面体的对称性（旋转、镜像），那么就只有一种情况了啊！

Cielo

如果楼主的意思是，初始时位于球内接正四面体的顶点，
那么四只蚂蚁互相追逐，它们的地位不是完全平等的。

编号1、2、3、4，分析一下很短的一段时间内它们之间的相对运动，
1与2：它们初始时位于同一个正三角形上，1追2、2追3，
1与3：它们初始时位于同一个正三角形上，1追2、3追4，
以上两种相对运动不是一样的，所以我认为四只蚂蚁不会仍然维持“正四面体”的相对位置，
也就是说，不仅仅是简单的“翻滚”。
所以我猜最后会相遇……

Cielo

原帖由 钟七珍 于 2011-8-29 22:47 发表
虽然：“1与2：它们初始时位于同一个正三角形上，1追2、2追3，
1与3：它们初始时位于同一个正三角形上，1追2、3追4，”
　　但它们追逐的路线不是“正三角形”的边，而是球面正三角形的边。这个“球面正三角形”的 ...

我知道走的无穷小量是大圆弧。

我想说的是，正四面体的条件很苛刻的，必须每两者之间的相对位置都是一样，这里有 4C2 = 6 种。

而直观上我们只能看出 AB BC CD DA 这四组关系是一样的；AC BD 这两组的关系是一样的。

但我认为 前四组 和 后两组 还是有些区别。

Cielo

原帖由 华容道 于 2011-8-31 06:24 发表
2、若四只蚂蚁会与一点，则此点必与四只蚂蚁的出发点的球面距离是相等的，而球面上不存在这样的点； ...

蚂蚁的运动方向是时刻变化的，所以走的路线不是球面上的大圆弧。

Cielo

原帖由 华容道 于 2011-9-1 06:30 发表
将正四面体翻滚一下可以看出A、B两只蚂蚁的条件是对称的，因此这两只蚂蚁的路径是对称的。所以这四只蚂蚁的运动路径两两全等或对称，进而得到“若四只蚂蚁会与一点，则此点必与四只蚂蚁的出发点的球面距离是相等的” ...

我认为路径需要全部全等才行，光对称是不足以保持正四面体的。
在17楼我也说过我的想法。

Cielo

原帖由 lulijie 于 2011-9-3 01:00 发表
发现最后4只蚂蚁不是汇聚于一点(-sqrt(6)/6,-sqrt(2)/2,sqrt(3)/3),就是汇聚于一点(sqrt(6)/6,sqrt(2)/2,-sqrt(3)/3)。
...

这现象很有趣，难道是混沌……

原帖由 暴力打开 于 2011-9-3 01:13 发表
不靠谱，如果到一点，这个点是哪都不对称，是这个点凭什么不是该点旋转60度的对应点？

仔细看看，那是个有向空间四边形，貌似没有60°的旋转对称吧？

Cielo

大家看29楼的图，可以发现ABCD这个有向空间四边形是有180°旋转对称性的，
转轴是：AC中点与BD中点的连线。

所以，如果最后聚于一点，那么必然是这轴与球面的交点，刚好是两个对称点！

以上只是一个观察而已，对解决问题没什么实质帮助……

Cielo

楼上两位说得对！

这个对称性本来应该很容易看出来的，只是一开始看到没有正四面体那么完美的对称，于是直接认为不对称了……