球面上的四只蚂蚁

钟七珍

　　有四只蚂蚁A、B、C、D，平均分布在半径为1的球面上，A追逐B，B追逐C，C追逐D，D追逐A。都是按照球面上的最短距离去追逐。四只蚂蚁速度都是1。 那么，最终会怎样？四只蚂蚁能否碰面？能的话运动了多长时间和多长距离？。。。

　　有两种矛盾的思路：
　　一、根据对称，四只蚂蚁不会碰头。
　　二、.最后四只蚂蚁都在一个大圆上，互相追赶，永无止境。
　　除了上述两种思路外，是否还会有第三种？

钟七珍

　　用小量分析的话，应该就是一个正四面体在球体里转。
　　不过这个小量分析应该采用相对于球心角度的微分增量。

钟七珍

虽然：“1与2：它们初始时位于同一个正三角形上，1追2、2追3，
1与3：它们初始时位于同一个正三角形上，1追2、3追4，”
　　但它们追逐的路线不是“正三角形”的边，而是球面正三角形的边。这个“球面正三角形”的内角和大于180°，它的三条边都是圆弧

[ 本帖最后由 钟七珍 于 2011-8-29 22:49 编辑 ]

钟七珍

42楼：中轴的建立应是此题里程碑式的判断！
　　“畫中軸, 其實这個步驟很重要, 4面体有6條棱, 螞蟻一隻追一隻, 只有4條線, 因此中軸只能向一個方向”！
　　我的理解：尽管四面体有６条棱，但四只蚂蚁追逐的路线只有４条。而这４条线首尾相连接，围成了一个４边形曲面，这个曲面的法线就只可能有一根！就是这根“中轴”。
　　往下，就容易理解这四只蚂蚁追逐的最终结果是一个大圆了。
　　而这个大圆却是一个不“稳”的大圆。这点，１４楼及不少帖子有详细的讨论。用电脑编程要用到小量误差，而这小量误差造成了大圆的不“稳”，所以运算的结果就追逐相会到一点了！