数学的三大几何难题

gozichen

<span style="font-family: 微软雅黑;">小知识：<br>著名的1+1、四色定理、七桥问题我们听得多了，这里有几个比较少听到的问题。<br><br>数学里的几何问题就是只能用直尺、圆规、铅笔来解决的，而这里所谓的直尺是指没有刻度只能画直线的尺，也就是平面几何作图的限制。</span><br style="font-family: 微软雅黑;"><span style="font-family: 微软雅黑;">简单的就是我们小学学的用直尺、圆规把一个角等分的方法就是标准的解题模式了。</span><br style="font-family: 微软雅黑;"><span style="font-family: 微软雅黑;">用直尺与圆规当然可以做出许多种之图形，但有些图形如正七边形、正九边形就做不出来。有些问题看起来好像很简单，但真正做出来却很困难，这些问题之中最有名的就是所谓的三大问题。

<br><br style="font-family: 微软雅黑;"></span><span style="font-family: 微软雅黑;">几何三大问题是 :
</span><br style="font-family: 微软雅黑;"><span style="font-family: 微软雅黑; font-weight: bold;">1.化圆为方－求作一正方形使其面积等於一已知圆；
</span><br style="font-family: 微软雅黑; font-weight: bold;"><span style="font-family: 微软雅黑; font-weight: bold;">2.三等分任意角；</span><br style="font-family: 微软雅黑; font-weight: bold;"><span style="font-family: 微软雅黑;"><span style="font-weight: bold;">3.倍立方－求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍。</span><br><br style="font-family: 微软雅黑;"></span><span style="font-family: 微软雅黑;">圆与正方形都是常见的几何图形，但如何作一个正方形和已知圆等面积呢？若已知圆的半径为1则其面积为π(1)2=π，所以化圆为方的问题等於去求一正方形其面积为π，也就是用尺规做出长度为π1/2的线段（或者是π的线段）。</span><br style="font-family: 微软雅黑;"><span style="font-family: 微软雅黑;">三大问题的第二个是三等分一个角的问题。对於某些角如90。、180。三等分并不难，但是否所有角都可以三等分呢？例如60。若能三等分则可以做出20。的角，那麽正18边形及正九边形也都可以做出来了（注：圆内接一正十八边形每一边所对的圆周角为360。/18=20。)。其实三等分角的问题是由求作正多边形这一类问题所引起来的。

<br><br style="font-family: 微软雅黑;"></span><span style="font-family: 微软雅黑; color: YellowGreen;">这里要提一下的是达芬奇曾经用铅笔、圆规和直尺解决了这一问题，但因为解决中利用了铅笔滚动，最后这一方法不被确认，你可以试试能不能想出达芬奇的方法来。</span><br style="font-family: 微软雅黑;"><br style="font-family: 微软雅黑;"><span style="font-family: 微软雅黑;">第三个问题是倍立方。</span><br style="font-family: 微软雅黑;"><span style="font-family: 微软雅黑;">埃拉托塞尼（公元前276年~公元前195年）曾经记述一个神话提到说有一个先知者得到神谕必须将立方形的祭坛的体积加倍，有人主张将每边长加倍，但我们都知道那是错误的，因为体积已经变成原来的8倍。这些问题困扰数学家一千多年都不得其解，而实际上这三大问题都不可能用直尺圆规经有限步骤可解决的。

1637年笛卡儿创建解析几何以後，许多几何问题都可以转化为代数问题来研究。1837年旺策尔(Wantzel)给出三等分任一角及倍立方不可能用尺规作图的证明。1882年林得曼（Linderman）也证明了π的超越性（即π不为任何整数系数多次式的根），化圆为方的不可能性也得以确立。</span>