已知两个数的和与积，五步分析，难度较大

nnkken

分析到第二步已經開始吐血了……

nnkken

是7和22吧……搞得頭都昏了

[ 本帖最后由 nnkken 于 2012-2-25 22:53 编辑 ]

nnkken

原帖由 鐘七珍 於 2012-2-26 00:47 發表

　　７和22也不對。若是這兩個數，第二步乙就能判斷出來。乙根據甲第一步的發言，再看手中的積154，只能分解成7乘22。

154的話，也可以是77乘2呢？
甲第一步的發言，基本上是否定了兩數均為質數的可能性。
也就是說兩數之和非偶數，而且也不是質數加2。
但77乘2也符合條件吧？

我再算了一輪，發現除了7和22外，還有6和29，不知對不對？

nnkken

首先，x+y>11，xy<260。
當x+y為固定值時，x、y相差越大，乘積越小。若x+y的值大於92，則乘積的最小值會是90*(x+y-90)>=270。
因此可推知，x+y的最大值為92。
另外，根據這樣的條件，無論甲所得的和為何，甲都不可能一開始就知道x和y的值。

第一步，甲：我不知道這兩個數，但我知道乙也不知道這兩個數。
分析：
若甲所得的和，可寫成兩個質數之和，則由於質數乘積只有四個因數（1、a、b、ab），而1與ab必定不是該兩個數，因此在這種情況下，乙一定可以得知原本的兩個數。
所以甲所得的和，一定不能寫成兩個質數的和。
我們知道，根據哥德巴赫猜想，任何偶數均可寫成兩個質數之和。雖然哥德巴赫猜想尚未被證實，不過對於x、y均為2與90之間的數字的情況，它顯然是對的。
因此甲所得的和一定不是偶數，我們只須檢查奇數。
因為奇數=偶數+奇數，所以若這個奇數是兩個質數之和，那其中一個質數一定是偶數，那只可能是2。
也就是說，我們只須檢查該奇數減2是不是質數，是的話則篩走。
符合條件的和為：17、23、27、29、35、37、41、47、51、53、57、59、65、67、71、77、79、83、87、89
以上稱為列表1。

第二步，乙：一開始我不知道兩個數，但知道甲也不知道這兩個數：現在我仍然不知道是哪兩個數。（乙還有一句話：「我現在無法判斷甲現在是否知道是哪兩個數。甲可能知道，也可能不知道」沒有說出來。）
分析：
在符合我們第一部分析的條件的情況下，乙一開始一定不知道那兩個數。而甲一開始一定不知道那兩個數。因此這兩句略過。
乙在分析出兩數知和的可能性後，仍不知道x和y。
這表示，把列表1的和的所有乘積可能列出來後，乙發現他自己手中的積在列表中出現了兩次以上，因此不能判斷哪個組合。
例：17可以是2+15、3+14、4+13、……、8+9，而它們的乘積則分別是30、42、52、……、72。這些就是17的乘積可能。
當然，大於260的乘積不算在內。
把17、23、27、29、……、89這些序列1的元素的乘積可能都列出來，得到以下列表：
17 -- 30, 42, 52, 60, 66, 70, 72
23 -- 42, 60, 76, 90, 102, 112, 120, 126, 130, 132
27 -- 50, 72, 92, 110, 126, 140, 152, 162, 170, 176, 180, 182
29 -- 54, 78, 100, 120, 138, 154, 168, 180, 190, 198, 204, 208, 210
35 -- 66, 96, 124, 150, 174, 196, 216, 234, 250
37 -- 70, 102, 132, 160, 186, 210, 232, 252
41 -- 78, 114, 148, 180, 210, 238
47 -- 90, 132, 172, 210, 246
51 -- 98, 144, 188, 230
53 -- 102, 150, 196, 240
57 -- 110, 162, 212
59 -- 114, 168, 220
65 -- 126, 186, 244
67 -- 130, 192, 252
71 -- 138, 204
77 -- 150, 222
79 -- 154, 228
83 -- 162, 240
87 -- 170, 252
89 -- 174, 258
以上稱為列表2。
而乙看到列表2後，發現自己手中的積，在列表2中出現了至少2次，因此仍未能確定哪個才是正確的和。
也就是說，乙手中的乘積，不可能是列表2中只出現過一次的乘積。把這些乘積篩走，得到以下的乘積可能：
42(2)
60(2)
66(2)
70(2)
72(2)
78(2)
90(2)
102(3)
110(2)
114(2)
120(2)
126(3)
130(2)
132(3)
138(2)
150(3)
154(2)
162(3)
168(2)
170(2)
174(2)
180(3)
186(2)
196(2)
204(2)
210(4)
240(2)
252(3)
以上稱為列表3。其中，括號內的數字代表出現次數。
列表2作出修正，只留下列表3列出的乘積可能：
17 -- 42, 60, 66, 70, 72
23 -- 42, 60, 90, 102, 120, 126, 130, 132
27 -- 72, 110, 126, 162, 170, 180
29 -- 78, 120, 138, 154, 168, 180, 204, 210
35 -- 66, 150, 174, 196
37 -- 70, 102, 132, 186, 210, 252
41 -- 78, 114, 180, 210
47 -- 90, 132, 210
53 -- 102, 150, 196, 240
57 -- 110, 162
59 -- 114, 168
65 -- 126, 186
67 -- 130, 252
71 -- 138, 204
77 -- 150
79 -- 154
83 -- 162, 240
87 -- 170, 252
89 -- 174
以上稱為列表4。
列表4是甲聽完乙第二步的發言後，所得到的列表。
然而，乙在第二步中沒有說出來的是：「我現在無法判斷甲現在是否知道是哪兩個數。甲可能知道，也可能不知道」
這個「現在」，是指「甲聽完乙第二步的發言後」，不然就沒有意義了。
乙指出甲是有可能知道那兩個數的。也就是說，他手中的乘積，在（甲「現在」所能看到的）列表4某些和裡，只出現了一次。
舉個例說，若乙手中的乘積是42，那甲的和就只能是17或者23。而不論是17還是23，甲在看完列表4後，都不可能知道那兩個數，因為還存在其他可能性。
但若乙手中的乘積是154，那甲的和就只能是29或者79。而若是79的話，甲則在看完列表4後，便可以知道那兩個數了。
因此，乙手中的乘積只可能是150、154、174。注意：這一點，甲暫時是不知道的，因為乙那句話沒說出來。
因此，對於乙來說，他所看到的其實是以下的列表：
150 -- 35、53、77
154 -- 29、79
174 -- 35、89
以上稱為列表5。

第三步，甲：我仍然不知道是哪兩個數。
分析：
這證實了甲手中的和，不是77、79、89。因為若是這3個數的其中之一，那甲在看到列表4時，便可以馬上知道那兩個數。
因此，甲手中的和只可能是29、35、53。這是乙在聽完甲在第三步的發言後，所得出的結論。

第四步，乙：哈哈！我知道是哪兩個數了!
分析：
乙在得知「甲手中的和只可能是29、35、53」後，再對照他所能看到的列表5，馬上知道了那兩個數。在篩走77、79、89三個和之後，列表5變成這樣：
150 -- 35、53
154 -- 29
174 -- 35
以上稱為列表6。
而乙在看完列表6後便知道了那兩個數，表示他手中的乘積不可能是150，因此只可能是154或174。
154 -- 29
174 -- 35
以上稱為列表7。
另外，由於乙在得知「甲在第三步仍不知是哪兩個數」後，馬上便從中得到了訊息，知道了那兩個數。
若乙在第二步就知道甲仍不知道那兩個數，那他是不可能得出這個結論的，因為這樣的話，乙根本沒有獲取過新的訊息。
因此，甲在聽完乙在第四步的發言後，便會馬上知悉乙在第二步中沒有說出來的發言：「我現在（在第二步發言後）無法判斷甲現在是否知道是哪兩個數。甲可能知道，也可能不知道」。

第五步，甲：哈哈，我也知道這兩個數了！
分析：
在從乙第四步的發言，分析出上面這些後，甲在第五步所得的訊息量，與我們（得悉一切的解題者）一樣。因此，他也馬上得出了列表7。
而他一看列表7，便能馬上知道是那兩個數。

所以可能的答案為：
和29、積154，兩個數為7和22；
和35、積174，兩個數為6和29。

nnkken

……呃，我大概知道錯在甚麼地方了……
基本上第一步就全錯了……

nnkken

不行了……
重新再算一次，結果沒有成功否定7和22、6和29兩組解，反而還多出個43和4這一組。
還是等其他人解答算了

nnkken

原帖由 鐘七珍 於 2012-2-26 23:37 發表

　　若是７和22，那麼甲被告知的和是29，乙被告知的積是154。和是29，所以甲敢斷定乙不知道是哪兩個數；乙根據甲的發言，再看手中的積是154，而154可以拆成：7乘22，或2乘77，或14乘11。這三組數的和分別為：29、7 ...

和是79的話，只有兩種可能性：77+2（積為154）、76+3（積為228），其他可能性均不符合「積小於260」的條件。
所以如果甲手中的和是79的話，他要考慮的是，乙手中的這個積的可能性（154、228）中，是否有任意一個足以讓乙推導出那兩個數。
然而，154=2*77=7*22=11*14
228=3*76=4*57=6*38=12*19
所以，無論乙手中的積是154還是228，乙都不會一開始就知道那兩個數。
所以，如果甲手中的和是79的話，他可以說出「我不知道這兩個數，但我知道乙也不知道這兩個數。」
反過來說，若是7和22，甲手中的和是29而乙手中的積是154的話，由於有和是79的可能性存在，因此乙在第二步不能斷定那兩個數是7和22。

同理，若和是89，則只可能是87+2（積為174）或86+3（積為258）。
174=2*89=3*58=6*29
258=3*86=6*43
甲同樣能斷定乙一開始不知道那兩個數。
因此，若是6和29，由於存在著和是89的可能性，所以乙在第二步不能斷定那兩個數是6和29。

話說這個只是「有點難」的程度嗎……

nnkken

「79可以等於32加49，或26加53，或20加59，或18加61，或12加67，或8加71，或6加73之和！而這幾組數的積只有唯一的因數分解」
然而這些可能性皆不可能出現，因為：
32*49=1,568
26*53=1,378
20*59=1,180
18*61=1,098
12*67=804
8*71=568
6*73=438
全部都不符合「兩數之積小於260」的條件。
由於這些積不可能是乙手中所得的積，因此甲不需考慮「如果乙手中的積是438，那他就會知道是6和73了」之類的可能性。
因此，正如我在21樓所說，「和是79的話，只有兩種可能性：77+2（積為154）、76+3（積為228），其他可能性均不符合『積小於260』的條件。」

[ 本帖最后由 nnkken 于 2012-2-27 13:47 编辑 ]

nnkken

原帖由 鐘七珍 於 2012-2-27 13:54 發表

　　這些數的乘積的確超出了「兩數炎積小於２６０」這個條件。我把自己設置的條件也疏忽了！
　　但乙為什麼在第四步能猜斷定這兩個數是７和２２呢？

因為積是154的話，和只能是29和79。
而和是79的話，積則可能是154和228。
但乙在第二步說，「我現在依然不知道那兩個數」。
228=76*3=57*4=38*6=19*12
76+3=79
57+4=61
38+6=44
19+12=31
以上四個和之中，只有當和是79時，甲才能在第一步說出「我知道乙肯定不知道」。
（61=2+59、44=3+41、31=2+29，在這三種情況下，乙均可以馬上知道那兩個數）
因此，如果和是79、積是228的話，乙在第二步就已經可以肯定和是79，進而推斷出那兩個數。
但乙沒有在第二步推斷出那兩個數。因此，甲在第三步就可以馬上知道，積不是228而是154，進而推斷出那兩個數是2和77。
但甲沒有在第三步推斷出那兩個數。因此，乙在第四步就可以馬上知道，和不是79而29，進而推斷出那兩個數是7和22。

nnkken

……樓上強大……
我只懂用程序輔助列出某些情況的可能性列表……