[原创]基于N阶定律的公式循环周期极限计算:第三版

乌木

我试试和您一起来初步解读三阶全色魔方（简单说，三阶全色魔方就是中心块有四个方向性的三阶魔方，比如所谓“图案魔方”）的公式重复周期的极限值为1980。

原文说“在扰动关系A下,偶环只能成对出现,奇环独立出现。显然周期M(22),A(9,15),H(4,4)满足要求。最大公式循环周期=11*9*5*4=1980。”

如果有个公式G，为了方便，从复原态出发，做公式G一遍，得到的状态为：

棱块有一个11个棱块的轮换（余下一个棱块位置正确）。这11个棱块的“轮换环”之内，色向和不等于0。好，不难理解，做11遍G后所有棱块的位置复原，但色向不复原。做22遍G之后，不仅棱块位置再次复原，棱块色向也复原。（至于那不成环的一个棱块在1遍G 后颜色一定是不正的，22遍G后当然颜色也复原。）
对于8个角块，复原态出发做一遍G之后，有一个3个角块的轮换环和一个5个角块的轮换环，它们的环内而言的色向和都不是0。同样可知，做3遍G，那个3轮换环位置复原。做9遍后，那三个角块位置和颜色都复原。同样，那5个角块的轮换环在5遍G后位置复原，15遍G后那5个角块位置、颜色都复原。

有（至少）2个中心块在一遍G后转过了90°（或顺时针或逆时针，一样），显然，4遍G后中心块方向复原。（如果在一遍G后还有若干个中心块转了180°，则4遍G后它们一定也复原了。）

所以，综合三种块的要求， 22，9，15，4 的最小公倍数为1980，即做1980遍G之后，一切复原如初。

这种公式不止一个，满足上述要求的状态也不止一个。不满足上述要求的状态的有关公式的重复周期都小于1980。所以，题目谓之“……极限”。

[ 本帖最后由 乌木 于 2010-4-5 11:04 编辑 ]

乌木

下面状态即为符合上述棱块、角块条件的状态之一。（中心块显示不出方向性，算了。）

  
  
  
  
  
  
  
  


[ 本帖最后由 乌木 于 2009-9-27 17:42 编辑 ]

乌木

再举一例，从复原态出发，做一遍公式F' R' F D' U' F' L' D2 L' B L B2 R' D2 F'，得到的纯色魔方状态表明，该公式的重复周期为990。对于棱块，此公式的的重复周期为22遍；对于角块，做公式9×15遍重复。22，9，15的最小公倍数为990。

下图中心块方向性看不出，只好另行分析：做一遍这公式后，中心块有四个转了90°（用Puzzler虚拟全色魔方可以看出），那么990遍后那中心块一定转了180°（因为990不含因子4，但含因子2，所以那四个中心块转过180°），所以990×2＝1980遍后中心块也复原。

下图点击第二括号的第一个符号，即得到做一遍公式后的状态，点击最后几个符号及有关按钮，即可演示到底，表明公式在纯色魔方上的重复周期确为990。

  
  


[ 本帖最后由 乌木 于 2009-9-27 17:50 编辑 ]

乌木

文中说：“（四阶）显然周期A(9,15),C1(7,17),B1(11,13)满足要求.
最大公式循环周期=3^2*5*7*11*13*17=765765”

也就是角块有一个3循环和一个5循环，循环内部都是色向和非零（当然8个角块的色向和仍然为零）；
心块有一个7循环和一个17循环；
边棱块有一个11循环和一个13循环。

要画出这样的状态（之一）不难，但不容易反过来找出一个简捷的相关公式，因而利用java图来验证“765765”这个值也不容易进行了。

这样的角块的一例：

  
  
  
  
  
  
  
  


这样的心块的一例：


这样的边棱块的一例：


如果显示的图片太大，请点击图片后查看。

乌木

黑白子 发表于 2013-8-22 21:48
乌木老师，把上面的图改成动画吧？

棱块的情况很容易设置到魔方吧原有的四阶java中：

  
  
  
  
  
  
  
  


心块的情况只能弄到有方向的胡波java中去，但是有方向后的胡波java图心块初态设置无法用点击法填色，要设置“已执行步骤”来建立初态，不方便，待一会弄好后补贴心块图。

乌木

心块有一个7循环和一个17循环的一例：（对照17楼的展开图看）














为设置该初态，所用的“已执行步骤”为：
U;F2;[1];L;F';f;[2];f2;U2;[1];U';r';U;[3];f';u;U2;[4];R';F;R;L;F';L';B';D';F2;D';F2;D;F2;R;D;R';L2;D';L2;D;L2;r2;U';F';U;F;U;R;U';R';u2;U';R;U';R';U';F';U;F;u2;13F;R;U;R';U';13F';u';F';R;F;R';F';R;F;R';U';R;F';R';F;R;F';R';F;U;R2;F2;R';B';R;F2;R';B;R';R2;U';23F';U2;23F;U';R2;f;u';[5];U;[5];U';f';23R';D;23R;23D';23R';D';23R;23D;f;23R';D2;23R;23D';23R';D2;23R;23D;r';
其中公式为：
[1] 2L';U';2R;U;2L;U';2R';U;
[2] 2L';U;2R;U';2L;U;2R';U';
[3] 2R2;U;2L2;U';2R2;U;2L2;U';
[4] 2R;U;2L';U';2R';U;2L;U';
[5] 12L;F;2R;U';2L';U;2R';U';2L;U;F';12L';

乌木

角块、棱块和心块组合起来：













其中公式[6]只是用来设置角块、棱块的初态，[6]也就是角块、棱块的复原步骤，在“已执行步骤”中设置其逆步骤[6]' 即可。

所以，如果有个公式G做一遍后得到这个状态，那么连做765765遍公式G的话，该四阶有向魔方将首次复原。

乌木

有个问题要和各位探讨探讨。
1楼文中说“（四阶）在扰动关系A下,所有簇的偶环只能成对出现,奇环独立出现
显然周期A(9,15),C1(7,17),B1(11,13)满足要求.
最大公式循环周期=3^2*5*7*11*13*17=765765 。”

“偶环只能成对出现”是指在扰动关系A下偶元环的数目必须为偶数（包括0个偶环）而且允许一个簇有奇数个偶环同时另一簇也有奇数个偶环，只要各簇偶环数之和为偶数即可。比如，四阶转一下U，角块有了一个四元环同时心块也有了一个四元环，以及棱块有了两个四元环。
“奇环独立出现”是指在扰动关系A下奇元环的数目可以为奇数也可以为偶数，而且不受别的簇的成环情况的制约，是独立的。
A(9,15)是指角块有一个3元环和一个5元环，两个循环内部的色向和都为非零（8个角块的色向和仍然为零）；
C1(7,17)是指心块有一个7元环和一个17元环；
B1(11,13)是指棱块有一个11元环和一个13元环。

我的问题是，改为B1(7,17)和C1(11,13)，即棱块有7元环和17元环，心块有11元环和13元环，应该也可以，也都符合“奇环独立出现”，这样，同样是“扰动关系A下”的周期A(9,15),B1(7,17),C1(11,13)也满足要求，同样可以得出
四阶的最大公式循环周期=3^2*5*7*11*13*17=765765 。

对吧？

乌木

如果说17楼、19楼的状态（java图和展开图）不是转出来的，而是填色方法做出来和画出来的，那么，21楼的胡波java图所给出的状态，确确实实是从该java图的复原态出发转出来的，全部步骤都在其“已执行步骤”中，“查看页面源文件”即可看到这些步骤。
如果把这些冗长的步骤看作一个“公式”，那么，连做765765遍这“公式”，该四阶有向魔方应该首次复原。

乌木

黑白子 发表于 2013-8-24 08:49
我还有个问题：最大公式周期的状态都是基态吗？最大公式周期状态有没有扰动状态的？

这问题是否这样：
1楼文章中对应于最大的公式周期的循环组合分别为：
“（二阶）周期A{9,15}满足要求”，即一个3循环，一个5循环；
“（三阶）周期M(22),A(9,15),H(4,4)满足要求”，即中棱块一个11循环，角块一个3循环和一个5循环，偶数个中心块90°；
“（四阶）周期A(9,15),C1(7,17),B1(11,13)满足要求”，即角块一个3循环和一个5循环，心块一个7循环和一个17循环，边棱块一个11循环和一个13循环；
“（五阶）周期A(9,15),M(11),C1(13,8,2),B1(7,17),F1(23)满足要求”，即角块一个3循环和一个5循环，中棱块一个11循环，C1心块一个13循环，一个8循环和一个2循环，F1心块一个23循环，边棱块一个7循环和一个17循环；
“（六阶）周期A(9,15),E11(11),E12(13),C1(7,17),C2(16,8),B1(19),B2(23)满足要求”，即角块一个3循环和一个5循环，E11心块一个11循环，E12心块一个13循环，C1心块一个7循环和一个17循环，C2心块一个16循环和一个8循环，B1棱块一个19循环，B2棱块一个23循环；
“六阶及六阶以上魔方的最大公式循环周期完全相同”。

奇循环不改变它所在的簇的奇偶性，同一簇内偶数个偶循环也不改变这一簇的奇偶性，可见，楼主给出的相应于公式最大周期的状态并无扰动态。