角度求证

wpolly

设AB=2, 则有
AF=FB=1/cos10°,BD=2sin10°,AD=2cos10°

DF^2=BF^2-BD^2=1/cos^2 10°-4sin^2 10°=(1-4sin^2 10°cos^2 10°)/cos^2 10°=(1-sin^2 20°)/cos^2 10°=cos^2 20°/cos^2 10°
所以DF=cos 20°/cos 10°
而DC=ADtan30°=2cos10°tan30°
只需验证DF/DC=tan 40°, 即cos 20°cos 40°=2sin 40°cos^2 10°tan 30°
上式等价于 cos 20°cos 40°=4sin 20°cos 20°cos^2 10°sin 30°/cos 30°
等价于 cos 20°cos 30°cos 40°=4sin 20°cos 20°cos^2 10°sin 30°
等价于 cos 30°cos 40°=2sin 20°cos^2 10°
等价于 cos 10°+cos 70°=2cos 10°(sin 30°+sin 10°)
等价于 cos 10°+sin 20°=2cos 10°sin 30°+2cos 10°sin 10°
最后一式显然成立