23个棋子围成一个圆圈，每次最多拿三个

lulijie

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2012-7-11 22:30:06 上传

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设棋子的总数为n，若n围成圈，那么g(n)表示其胜负值，若n不围成圈，那么f(n)表示其胜负值，若n不连续，那么用逗号隔开，如f(1,1,3)
f()=0 ,表示先手方的奇偶由后行方决定；那么无论奇胜还是偶胜，都是先手方败。
f()=1 ,表示先手方可确保拿到奇数，若后手方不让，定拿不到偶数；若奇胜，则先行方胜，偶胜则先行方败。
f()=2 ,表示先手方可确保拿到偶数，若后手方不让，定拿不到奇数；若奇胜，则先行方败，偶胜则先行方胜。
f()=3,表示先手方可自行决定拿奇数还是拿偶数；那么无论奇胜还是偶胜，都是先手方必胜。
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
楼主所求的等于g(23), 那么取决于f(20),f(21),f(22)
因为f(20)=3,f(21)=3,f(22)=2
所以先行方必取1个棋子，使得棋子成连续的22个棋子的局面，后行方必得偶数，所以先行方必得奇数而获胜。
以下是一些f()值和g()值，详细的f()值见附件。
f(1)=1
f(2)=3
f(3)=3   
f(4)=3
f(5)=3
f(6)=3
f(7)=3
f(8)=3
f(9)=3
f(10)=3
f(11)=3
f(12)=1
f(13)=2
f(14)=3
f(15)=3
f(16)=2
f(17)=1
f(18)=3
f(19)=3
f(20)=3
f(21)=3
f(22)=2

g(1)=1
g(2)=3
g(3)=3   
g(4)=1
g(5)=0
g(6)=0
g(7)=0
g(8)=0
g(9)=0
g(10)=0
g(11)=0
g(12)=0
g(13)=2
g(14)=3
g(15)=3
g(16)=2
g(17)=1
g(18)=3
g(19)=3
g(20)=1
g(21)=0
g(22)=0
g(23)=1

lulijie

钟七珍 发表于 2012-7-15 23:40
我给你发了一条消息。

谢谢楼主的提醒，原计算程序确实有误，穷举局面的时候有遗漏。
下面是改正后计算出的结果，先手败。
f(1)=1
f(2)=3
f(3)=3
f(4)=3
f(5)=3
f(6)=3
f(7)=3
f(8)=3
f(9)=3
f(10)=3
f(11)=3
f(12)=3
f(13)=3
f(14)=3
f(15)=3
f(16)=3
f(17)=3
f(18)=3
f(19)=3
f(20)=3
f(21)=3
f(22)=3

g(1)=1
g(2)=3
g(3)=3
g(4)=1
g(5)=...=g(23)=0
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2012-7-16 20:16:11 上传

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lulijie

下面总结一下，把先手必奇、必偶局面提取出来，剩下的都是先手可奇可偶(必胜)局面。
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2012-7-16 20:32:36 上传

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lulijie

23-->>
       22 -->>11,10(必奇)
       21-->> 10,10（必偶）
       20-->> 9,8（必奇）
环23局面：先行方取奇数(1个或3个)，后行方取后形成必奇局面，先行方取偶(2个)，后行方取后形成必偶局面。      

lulijie

f(n,n+1)=f(n+1,n+1)，后手方必能做到让先手方拿到n+1个棋子，(先手方拿什么，后手方按照对称来拿)    对于少一个棋子的堆，后手方就想象其中有一个假想的棋子存在即可。
所以对于任何4n+1，先手方无论形成任何局面，后手方都有对策：
        4n-->>2n-1,2n-1(必奇)
        4n-1-->>2n-2,2n-2（必偶）
     4n-2-->> 2n-1,2n-2（必奇）
  而对于任何4n+3，先手方无论形成任何局面，后手方也有对策：
        4n+2-->>2n+1,2n(必奇)
        4n+1-->>2n,2n（必偶）
     4n-->> 2n-1,2n-1（必奇）
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所以对于环形的奇数个棋子，先行方都必败。偶数个棋子胜也是同样道理，后手方都可以形成对称局面(偶数堆棋子，可以存在一个假想棋子)而获胜。