空心魔方扰动方程的悖论

黑白子

乌木 发表于 2012-7-12 10:15
“中层转是不是相当于2个表层转？”    我想还要加一整体转吧？比如，MD 相当于U D' CU' 。

“整体转是不 ...

根据N阶定律，N阶魔方的角块簇和边棱块簇都是独立切换态性的。
好像统计魔方步数时是不包括整体转的。
如果做下面的判断题（你认为对的在括号内打对勾，错的打叉）：
空心三阶魔方不转中层能够使2个棱块（角块）独立互换位置（）
您将做出怎样的判断呢？

黑白子

N阶定律的适用范围是N阶有心魔方，是否适用于空心魔方呢？
空心魔方的扰动方程以环境为参照物，假如三阶有心魔方也能够以环境为参照物写出，是否这样才有可比性？

乌木

“好像统计魔方步数时是不包括整体转的。”   这是另一个问题。此外，即使不统计整体转，但是它在整个序列中一般是不可以去掉的，否则它后面的步骤不经改写的话就得不到正确结果。

“如果做下面的判断题（你认为对的在括号内打对勾，错的打叉）：
空心三阶魔方不转中层能够使2个棱块（角块）独立互换位置（）”
我在37楼回答了这个问题。此外，就这里的这个问题而言，缺少前提，无法简单地打钩或打叉。

黑白子

乌木 发表于 2012-7-12 11:12
“好像统计魔方步数时是不包括整体转的。”   这是另一个问题。此外，即使不统计整体转，但是它在整个序列中 ...

其实，如果不加说明的话，大家默认的前提是承认24同态，答案自然是对的。
对于S=A+M这个扰动方程有多少种含义，再次请教。

乌木

“S=A+M这个扰动方程有多少种含义？”

或许看上去有多种解读，我认为只是一种含义，就是：“S=A+M”。
但是，毕竟应该展开一下的：

扰动方程用于计算总态数，我不太懂，还是看pengw的叙述吧。

我就说说扰动式的另一种用途。拿到一个三阶空心魔方，无论它是复原态还是打乱态，它的角块簇的位置状态非奇即偶，它的棱块簇也是，而且一般人不会去查看它的两个簇的态性分别如何，而是用自己喜欢的方法把它打乱或复原来着。另类地看这个过程，无非包括转转表层，转转中层，两层转转，整体转转，如此而已。其中凡是涉及表层转的，每一90°转都是使当时的角块簇的态性切换一次，当时的棱块簇的态性也切换一次，记为S＝A＋M。一次次的表层转对于角块簇和棱块簇的态性变化具有叠加效应。好，所做过的表层90°转的次数为n的话，nS＝nA＋nM，每两个A对角块的态性变化作用抵消，每两个M的作用也抵消，所以，这么些表层转对于角块簇和棱块簇态性变化的作用可以确定，为非0即（A＋M），即要么nS的作用不改变角块和棱块的初态性，要么角块和棱块的初态性都改变。
再考虑到初态情况，最后结果就是：
nS的作用为0时：
初态角偶棱偶——>终态角偶棱偶
初态角偶棱奇——>终态角偶棱奇
初态角奇棱偶——>终态角奇棱偶
初态角奇棱奇——>终态角奇棱奇

nS的作用为（A＋M）时：
初态角偶棱偶——>终态角奇棱奇
初态角偶棱奇——>终态角奇棱偶
初态角奇棱偶——>终态角偶棱奇
初态角奇棱奇——>终态角偶棱偶

至此，还未查看中层转的作用mL＝mM，方法类推。中层转的结果还要叠加到上述nS的结果上去。

被玩家一番折腾之后的三阶空心魔方的最后状态取决于初态、nS和mL的综合结果。

我对S＝A＋M的理解主要是这样，它（和L＝M）并不能解魔方。玩家复原一个打乱的三阶空心魔方不是靠这两个式子。如果知道了一串步骤，也知道了魔方的初态，用这两式分析出一个三阶空心魔方的最后状态是角块和棱块都为偶态的话，不等于说该魔方一定复原了。因为复原态的角块和棱块都是偶态，反过来两簇都是偶态就不一定是复原态！还有，裁判查看起来不会这样分析来分析去，只需看看是否六面同色以及是否超出规定情况即可。

在有些问题上，扰动公式蛮有指导作用的。比如三阶有心魔方表层一转90°即可切换角块和棱块的态性，用来消扰动的话，就便于接下去的工作；比如三阶有心魔方哪些是错装态；比如四阶表层一转90°使角块和心块切换态性，内层一转90°使棱块切换态性，都可以用于消扰动；比如五魔方没有奇态，等等，对于解魔方或判断错装态等工作都有用。

这两个式子还有什么含义？请各位指点。

zfkdiyi

好深奥哦……慢慢看

pengw

设:
A=纯色三阶A簇状态数
M=纯色三阶M簇状态数

纯色三阶状态数T1=M/2*A/2*2
空心三阶状态数T2=M/2*A/2*4*1/24

T1/T2=12

再问：纯色复原状态有多少个换心状态？12

对比一下前面的计算，明白？

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说白了，纯色三阶每个状态都有11个换心同态，也就是说，纯色三阶状态数除以12就是三阶空心状态数，说得够明白了

pengw

S=A+M，意义何在？难到三阶空心所有簇不可以是奇态簇？再说一次，扰动方程代表的是奇态簇与偶态簇的组合方式，只不过方程中只例出奇态簇。当你去探索最大的公式循环周期时，S=A+M会约束你的行为

黑白子

仔细想了一下，参照魔方周围环境，有心三阶魔方的扰动关系是
1、S=A+M+H
2、L=M+H’             说明2个棱块互换位置，必有4个中心块位置发生四轮换。
3、S+L=A+H+H’    说明2个角块互换位置，必有4个中心块位置发生四轮换，并且伴有一个心块（6个心块中的任何一个都可以）原地发生90度旋转。   
4、φ
A代表角块扰动
M代表中棱块扰动
H代表一个中心块原地旋转90度，H’代表4个中心块位置发生四轮换。
空心魔方遵守同样的规律，只不过因其没有心块，去掉H或H’即可得到空心魔方扰动方程，虽未写出心块，仍然起作用。
所有奇阶魔方中层扰动也遵守第二点。请大师验证或指出错误。
4个中心块位置发生四轮换是指转动一次中层90度时，心块位置相对换位。不同于一般的四轮换。

pengw

当然，本质上，空心三阶每个簇都可以独立变换，互不影响，则其状态还可以计算为T=M*A/24，貌似该计算与扰动方程无关，但是，别忘了，L=M，S+L=A+M+M=A，即空心三阶每个簇都可以独立变换这个结论正是由下面的扰动方程导出（当然也可以试出，如果运气好）：

S=A+M
L=M
L+S=A+M+M=A

如果没有S=A+M，何以导出L+S=A ？这就是S=A+M的最重要的理论意义