【不等式】我又来了……对付一下数竞

魔_物理_控

证明一个不等式：我直接简化到答案上省略的前一步，求大神详解具体等价步骤，答案跳跃得有点多，没看懂……
求证：左面那个不等式等价于右面那个不等式……

superacid

武杰610206738 发表于 2012-9-6 16:17
那换三角函数，可能能出来吧·····

你可以自己稍微尝试一下再发表意见吗？

魔_物理_控

武杰610206738 发表于 2012-9-6 16:17
那换三角函数，可能能出来吧·····

呃，求详细……

武杰610206738

魔_物理_控 发表于 2012-9-1 23:20
呃，不通分左边怎么倒……

那换三角函数，可能能出来吧·····

魔_物理_控

武杰610206738 发表于 2012-9-1 13:05
推荐一个新思路，把第一个不等式倒是一下试试，（本人没试啊），或许可以简单一点把···

呃，不通分左边怎么倒……

武杰610206738

推荐一个新思路，把第一个不等式倒是一下试试，（本人没试啊），或许可以简单一点把···

魔_物理_控

superacid 发表于 2012-8-16 20:22

嗯嗯，这个解答很霸气……谢谢帮助哈……

superacid

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2012-8-16 20:22:19 上传

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不等式解答

PKUSMSBQ

本题等价于对任意a,b,c>0，sum{a/(1+a+ab)}<=1（sum表示循环和，sum{a/(1+a+ab)}=a/(1+a+ab)+b/(1+b+bc)+c/(1+c+ca)）
令a=ky/x,b=kz/y,c=kx/z，于是化简之后变成
sum{ky/(x+ky+k^2z)}<=1=sum{y/(x+y+z)}
移项后变为sum{y*(k/(x+ky+k^2z)-1/(x+y+z))}<=0
左边=sum{((k-1)(x-kz)y/((x+y+z)(x+ky+k^2z))}
=((k-1)/(x+y+z)*sum{(x-kz)y/(x+ky+k^2z)}
sum{(x-kz)y/(x+ky+k^2z)}=sum{xy/(x+ky+k^2z)}-sum{kyz/(x+ky+k^2z)}
=sum{xy/(x+ky+k^2z)}-sum{yz/(x/k+y+kz)}
=sum{xy/(x+ky+k^2z)}-sum{xy/(z/k+x+ky)}=sum{xy/(x+ky+k^2z)}-sum{xy/(x+ky+z/k)}
=sum{xy*(1/(x+ky+k^2z)-1/(x+ky+z/k)}
=sum{xyz(1/k-k^2)/((x+ky+k^2z)(x+ky+z/k))}=xyz*(1-k)(1+k+k^2)/k*sum{1/((x+ky+k^2z)(x+ky+z/k))}
于是(k-1)/(x+y+z)*sum{(x-kz)y/(x+ky+k^2z)}=-(1-k)^2*(1+k+k^2)/k*xyz/(x+y+z)*sum{1/((x+ky+k^2z)(x+ky+z/k))}显然<=0
finish

PKUSMSBQ

先吐槽第二个不等式。。。