“魔方循环理论”演示专贴

ggglgq

以下是引用noski在2005-5-18 10:19:20的发言：

加油,ggglqg,你的理论又前进了一步[em17]

呵呵，谢谢 noski 先生赞美。我现在只想在大家给的魔方公式基础上推广
我的理论，这样大家更容易理解接受《循环变换》！在此特别感谢你给的公式呀！

ggglgq

以下是引用ggglgq在2004-6-3 14:33:33的发言：

2.魔方循环变换的定义：
对于有效变换 A ，如果 A = 1 ，并且 any(circle0(A),half(A))
都是最少步变换，则称变换 A 为循环变换。记作：
循环变换 A 或 circle(A)




请广大魔友在发有关各类魔方“循环变换”演示贴时，要先按照“循环变换”
定义验证是否是“循环变换”。目前“循环变换”有两个主要误区：

1.认为 循环周期是 1 的公式称为“循环变换”；

2.认为 循环周期大于 1 的公式只能构成“广义循环变换”。

下面就这两问题举出反例。

  
  
    如：任意长度大于 30（较大的数字），循环周期是 1 的公式都非“循环变换”；
  
而虽然 R 的循环周期是 4 ，但 R4 却是“循环变换”！　　
　　
　　
　　　　
　　
　　
　　

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-5-21 12:25 编辑 ]

ggglgq

请 乌木 先生对比参考这两个公式， bcddabcba 与 cddabcbab 有如下关系：

cddabcbab = (-b) bcddabcba (b)

(-b) b 相互抵消。而（ (-b) + 公式 + b ）的方法是在魔方中经常用的“共轭”
技巧。

其他公式同样方法理解，请 乌木 先生再试试。

请 乌木 先生再参考：“循环公式”有关“正六面体三阶魔方共轭”的相应内容
加以理解。

乌木

1、(-b) + 公式 + b ，这“公式”的头应为b；若一公式的头是x，则其共轭为（－x）＋公式＋（x），对吗？
2、那么，我是问，二维魔方中为何有的共轭公式结果一样，有的不一样？

ggglgq

（ (-b) + 公式 + b ）的方法是在魔方中经常用的“共轭”技巧。其中对“公式”
形式不做任何要求。
而循环公式恰好利用“公式的头为 b ”使得“ (-b) b 相互抵消”。

为什么在二维魔方中“循环公式” abcddabcb 的结果有的一样，有的不一样，请看:

[a]
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16 [d]
[c]

请注意： 公式 abcddabcb 的结果只把 b-d 行 13 14 15 16 变成 13 14 16 15 。

---

因为 abcddabcb 并未影响 a-c 列的数字位置（ 16 15 不在 a-c 列 ），因此

abcddabcb 与 (-a) abcddabcb a = bcddabcb a 结果一样。

即：因为（ 16 15 不在 a-c 列 ），所以 (-a) + 公式 + a 不影响结果！

---

但 bcddabcba 变为 cddabcbab 就不同了（ 16 15 恰在 b-d 行 ），

cddabcbab = (-b) bcddabcba b ，下面分解这三步曲，请乌木先生仔细看：

相当与先把 13 14 15 16 经过 (-b) 变为 16 13 14 15
然后经过 bcddabcba 把 16 13 14 15 变为 16 13 15 14
最后把 16 13 15 14 经过 b 变成 13 15 14 16

正是因为 (-b) + 公式 + b 影响了 b-d 行，所以 bcddabcba 与 cddabcbab 就不一样了！

即：因为（ 16 15 恰在 b-d 行 ），所以 (-b) + 公式 + b 导致了结果不一样！

ggglgq

我构造的 2×2 平面魔方“循环变换球面网”

2×2 平面魔方有 4 种操作 U 、 D 、 L 、 R 。 2×2 平面魔方的“循环变换球面网”
为“正八面体的循环变换球面网”（如图）。

请各位魔友注意，图中 A --> B 箭头表示：从 A 到 B 但还需要整体旋转后才能得到 B 。
图中不带箭头的可以互相转换；但带箭头的是不能互相转换的，转换后还需整体旋转。

我们不妨分别用 U 、 U+ 、 U2 、 U- 表示（D 、 L 、 R 操作同理）：
U 表示操作 U 后不需要再做整体旋转；
U+ 表示操作 U 后再做顺时针整体旋转；
U2 表示操作 U 后再做整体旋转 180 度；
U- 表示操作 U 后再做逆时针整体旋转。

由 2×2 平面魔方“正八面体的循环变换球面网”可以得出， 2×2 平面魔方“循环变换”
只有三种：

1. 步长为 2 的循环变换：如 U U （两点式圆）

2. 步长为 3 的循环变换：如 D R U- （正三角圆）

3. 步长为 4 的循环变换：如 D U D U （正方形圆）

其他的封闭多边形均是“广义循环变换”，当然可以构造出 N 阶（即周期为 N ）算子循环
变换。请感兴趣的魔友自己试试！

由 2×2 平面魔方“正八面体的循环变换球面网”可以得出，2×2 平面魔方总状态数只有 6 个
（经过整体旋转后相同的为同一状态）。最小循环变换为 2 个步长，最大循环变换为 4 个步长。

由最大循环变换为 4 个步长立即得到： 2×2 平面魔方
最远状态的最少步只有 2 个步长。[em07]
（即得 2×2 平面魔方任意两个状态之间最多需要 2 步），
比如： D U 就是 2×2 平面魔方的一个最远状态！

ggglgq

由 2×2 平面魔方“正八面体的循环变换球面网”可以得出， 2×2 平面魔方“循环变换”
只有三种，大家可以自行演示下面的“循环变换”：

1. 步长为 2 的循环变换：如 U U （两点式圆）

2. 步长为 3 的循环变换：如 D R U- （正三角圆）

3. 步长为 4 的循环变换：如 D U D U （正方形圆）

下面再给出一个奇特的 2×2 平面魔方的“广义循环变换”： D R D+ D L- R 。

如图， D R D+ D L- R 是从“上面的魔方”按箭头所示方向走又回到“上面的魔方”。

当然，这个“广义循环变换” D R D+ D L- R 可以从任意起点出发都可以回到起点。

ggglgq

以下是引用ggglgq在2004-8-20 8:51:30的发言：

问题：某一魔方“傻瓜转法”旋转的最少步数为多少 ？ 现给出一个带有理想
色彩的猜想答案：魔方“傻瓜转法”旋转的最少步数就是它的所有的状态数。

比如：正六面体的三阶魔方有 4.325200 E+19 种不同状态的图案，猜想：它的
“傻瓜转法”旋转的最少步数为 4.325200 E+19 ；
又如：正十二面体的五魔方有 1.006696 E+68 种不同状态的图案，猜想：它的
“傻瓜转法”旋转的最少步数为 1.006696 E+68 ；

由这个奇特的 2×2 平面魔方的“广义循环变换” D R D+ D L- R 得知：
这个“广义循环变换” D R D+ D L- R 是 2×2 平面魔方的一个“傻瓜遍历”。

[此贴子已经被作者于2005-6-5 9:00:51编辑过]

臭虫

研究魔方的循环理论有助于理解公式的本质，本人设想过无招胜有招的公式的存在可能的，就是公式的公式，只是太复杂了

[em06][em06]

ggglgq

呵呵，在 正六面体五阶以上的魔方中存在长度为 十 的循环变换！演示一下。