又一个关于魔方的数学趣题

乌木

晓小吃迪 发表于 2012-12-8 21:26
请问魔方如何还原5个面。。

1楼说“当n=5时，同n=6”，意思就是，纯色三阶无法只复原5面，留下一面未复原。也就是，复原5面后，第6面也一定复原了。

乌木

三阶纯色魔方，参照中心块组，单单一面同色的条件下，这一面的四个角块的位置变化数为4！＝24，四个棱块的位置变化数也是4！＝24，所以这一面的状态数为4！*4！＝576。这第一层没有色向变化。
余下4个角块和8个棱块，位置并色向变化数为
4！*(3^3)*8!*(2^7) / 2 。
(除以2是因为整个魔方不能单单交换两个块，并非余下12个块之中不能单单交换两个块。如果第一面含有单单交换两个块，则余下的12块必须含有单单交换两个块；如果第一面不含有，余下的12块也不含有。)
所以，单单一个面同色的条件下，相对于中心块而言，该三阶纯色魔方的状态数为
576*4！*(3^3)*8!*(2^7) / 2 。
不知对不对，请各位指正。

乌木

余挺 发表于 2012-12-8 21:43
4个面都没见过

从复原态出发，想办法仅仅破坏两个面（或邻面，或对面），就相当于只复原4个面。

乌木

小鸿99 发表于 2012-12-8 22:32
乌木大哥神技术，回帖真快
这个思路应该是正确的，但是除以2那一步不太明白

三阶魔方不能单单交换两个块（无论角块还是棱块），想必你是知道的。

但是，交换两个角块和两个棱块，或交换两个角块和再交换另两个角块，或交换两个棱块和再交换另两个棱块，则都是允许的。
所以，上面我的叙述中，第一面若有（就第一面而言的）单单交换两个块的情况，此时，第二层和第三层就一定也有单单交换两个块的情况，整个魔方就是转得出态了。
第一面若没有（就第一面而言的）单单交换两个块的情况，此时，第二层和第三层就一定也没有单单交换两个块的情况，整个魔方也是转得出态了。

上面的计算中，与位置变化数有关的因子是4！，4！，4！和8！，都是角块和棱块拆下后再随机组装的变化数，它们的乘积有一半是转不出态（即含有单单交换两个块的态），只要简单地除以2就排除了。

乌木

15楼对于“相对两面未复原而其余四面已复原”的情况说：

好像不对吧？此时任一角块有所移动的话，已经复原的“其余四面”就不能保持都复原，也就是说此时角块不可能有2^4种位置变化了吧？

乌木

小鱼宝儿 发表于 2014-2-1 16:55
的确是我错了，最终答案是不是3*2^4/2-3+12*2*2^2/2-12=57？

其实我对这类排列组合问题是搞不大清的，搞不好就弄错。下面试试说一下“相对两面未复原而其余四面已复原”的状态数，不知说的对不对。

设顶面和底面未复原，此时角块都已复原来着，且不可变化，唯一可变的是FU和FD，RU和RD，BU和BD，LU和LD四对棱块分别交换或不交换，所以，变化数为
          〔(2^4)/2 - 1〕x 3＝21 。
除以2是因为二交换的总次数必须为偶数，排除奇数次二交换的状态。
减去1是因为有一个状态是顶面和底面也复原，即魔方有六面复原了，不属于四面复原态。
乘以3是作为顶底色的颜色对子数目为3对。