来道几何题

金眼睛

<P>AC，BD的长度一定，AB的长度就会一定么？唯一性还不太会证明，不过如果是一定的，倒是可以解出来</P>
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<P>假设三角形为等腰三角形，对称轴由上至下AC，CD，DB的长度：AC=x，CD=z，DB=y</P>
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<P>根据相似三角形的比例关系，经过C，B的两条水平线段的比例分别等于x/(x+y+z)和z/y</P>
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<P>x/(x+y+z)=z/y&nbsp; -&gt;&nbsp; z^2+(x+y)*z-xy=0&nbsp;&nbsp; 可以解出CD的长度，从而AB的长度就可以得到了。</P>
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<P>关于唯一性，还不知道怎么证明，<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/loveliness.gif" border=0 smilieid="28"> </P>

金眼睛

<P><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/lol.gif" border=0 smilieid="12">&nbsp;，当然知道LZ肯定不会同意只算出答案的，我隐约记得关于三角形有一个线段间的比例关系，不过确实忘了叫做梅陧劳斯定理及赛瓦定理。</P>
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<P>看了17楼的帖子，又去百度词条中温习了一下这个定理，粗浅感觉梅陧劳斯定理和赛瓦定理本质上是一样的，不知道我理解的对不对，而且三个比值当中三角形ABC三点是轮换关系。</P>
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<P>就算知道了这个定理，关于怎么应用还是颇费一番脑筋的，还好，经过LZ的提示，把精力放在AD，DC，CB，AB几根线段上，很快得以证明，证明过程如下：(参看17楼的附图)</P>
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<P>先看三角形AEC，将直线GH看做梅涅劳斯定理中那根乱穿的直线，则可以得到下面的关系式：</P>
<P>(AG/GE)*(EH/HC)*(CD/DA)=1</P>
<P>还是看三角形AEC，将F点看做赛瓦定理中那个平面上的点，则可以得到下面的关系式：</P>
<P>(AG/GE)*(EH/HC)*(CB/BA)=1</P>
<P>因此CD/DA=CB/BA，即DA×CB=CD×BA</P>
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<P>17楼的图跟LZ的图有点区别，CD的位置不同，这个等式即是LZ要求的AC×BD=AB×CD，由于定理是现学现卖，有不妥之处望请指正，<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/handshake.gif" border=0 smilieid="17">&nbsp;<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/loveliness.gif" border=0 smilieid="28">&nbsp;&nbsp; </P>

金眼睛

<P>感谢版主，<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/handshake.gif" border=0 smilieid="17"> </P>
<P>多亏qq280833822提到梅捏劳斯及塞瓦定理，要不我可不会做，<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/loveliness.gif" border=0 smilieid="28"> </P>