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对高维空间的理解 [复制链接]

锻炼中的哑铃

蓝魔

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电梯直达

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发表于 2013-10-20 13:52:46 |只看该作者 |倒序浏览

本帖最后由锻炼中的哑铃于 2013-10-20 13:54 编辑

我从四维开始，类比是一种较有效的思考方式。
最初，我只想知道四维空间中“球”的状态，类比三维空间中球的直角坐标系解析式x1^2+x2^2+x3^2=1,得出四维空间中“球”的表达式：x1^2+x2^2+x3^2+x4^2=1.在此应先说明一点，四维空间是什么样的，我们怎样考虑？类比低维空间，不难发现，后一个维度都是前一个维度在某方向上的叠加，所以，四维可以看作由三维空间在某种我们不能直观感受的方向上叠加得来。对于“球”，我们在（x1，x2，x3，x4）这个四维空间中的某一三维空间观察，不妨使x4=0，那么x1^2+x2^2+x3^2+x4^2=1这个“球”当x1^2+x2^2+x3^2=1时， x4=0，此时在（x1，x2，x3，0）这一我们所处的三维空间中表现为一个球，我们能看到，而当x12+x22+x32从0变化到1的过程中x4从+1变化到0，而在（x1，x2，x3，x4）中，当x4发生变化，我们可以跟着变化视野（即所处的三维空间），所以上述变化过程中如果我们随之从（x1，x2，x3，-1）变化到（x1，x2，x3，0）我们会发现这个“球”的半径从0变化到1，那么四维空间中我所说的这个“球”便较为自然的以另一种维度形式呈现在你的感知中。
接下来，我开始考虑四维空间中的超立方体，类比低维空间，发现二维平面上它表现为一个正方形，要将正方形变成正方体（也就是加一维）,我们会在三维空间中找一个合适的平面，在其上作一个和原正方形一样的正方形，然后连接对应顶点。那么要得到在四维空间中的超立方体，我们现在三维空间中作一个立方体，然后在思维空间的另一三维空间中作一个一样的正方体，连接对应顶点。如果说想直观一些，那么可以尝试观察它在三维空间中的投影，但是很容易发现，采用“平行投影”，在三维空间中我们看到的是一个立方体，因为所有的顶点和棱、面都重合了，那么为了获得直观感受，我们可以妥协一下，考虑一个不太正的超“立”方体，可以使另一三维空间中的立方体稍小一些，那么这个投影就较为直观：一个立方体内部还有一个较小一点的立方体，它们的对应顶点由棱连接。
自然而然地，我想到了计量超立方体的顶点和棱的个数（不知为什么，我当时没有想到面），稍加思考，从我们作出超立方体的过程中容易发现，每加一维，顶点数乘二。所以我们可以列出递推公式：an=2an-1给出初始值，a2=4其中n表示维数。易得an=2n。而对于棱，思考后容易发现：en=2e(n-1)+a(n-1)，求出en=n·2^(n-1)。既然得出了公式，我想到更高维的空间中的状态，于是先将5代入，得到80。但是，怎么样呢？我们怎么验证它的正确性？似乎想像五维空间是必要的。经过一番思考，我想到，如果将三维空间看作一个点，四维空间看作一条直线，其上的每个点都是一个三维空间，而这直线就可以看作四维空间比三维空间多出的另一方向的所在。五维空间便是平面了。以此类推，六维空间是由三维空间点组成的“三维空间”，七维空间可以看成由六维空间点组成的直线······当然，我们的世界主要表现出的是三维空间，于是我们将其看作点，如果是二维人研究此问题，它也许将二维空间看作点。那么五维空间上的“立方体”可以看成是这样作出的：作一个三维点，作另外一个三维点，三维点中都包含有一个立方体，连接两个三维点中立方体的对应顶点，再作一个与前面两个不共线的三维点，然后？然后是什么？要不要继续作三维点了？类比低维空间，若二维人要研究四维空间的超立方体（现在你应该对它有了大概的印象），它将二维空间看作点，作两个二维点，每个中作一个正方形，连接相应顶点，然后？然后再作两个二维点，将四个点连接成一个正方形，这个正方形就是超立方体。同样，五维空间中，要作超超立方体，需要作四个三维点，连成正方形。（值得注意的是，这种降低维度的想象方法会使图形变形，事实上可以这样考虑：三维是二维的叠加，四维是三维的叠加，三维空间中的每一个点都多了一个四维坐标，可以想象不同的三维空间呈现在眼前，代表了不同的四维坐标上的三维空间。）
研究完顶点和棱，不知为什么歇了一段时间没接着想面。后来想到了，却一时没想到计量方法，但是一天的一次在路上过程中，突然想到，面是由棱运动而来那么可以写出递推公式：fn=2fn-1+en-1容易求出，fn=（n（n-1）/2）×2n-2。求出此式子，你可以在超立方体中验证。
求出这个式子后，我一开始想化简，就将2-1和2n-2合并了，但是转念一想，前面的en=n·2n-1这个式子中不是有2n-1吗？再看到n和n（n-1），突然惊讶，还有另一个递推。再想想四维空间里能计量的不止二维面、一维棱、零维点，还有三维体。每个维度的“立方体”上能够计量的包含了所有比它低的维数所表示的图形。思考这三个式子：an=2n、en=n·2n-1、fn=（n（n-1）/2）×2n-2，我做出猜想：Qnm=(n!/(m!（n-m）!))×2^(n-m) （式子中的Qnm是我自己写的符号，意思是n维空间中的超立方体包含的m维项个数，例如Q32=6表示立方体有六个面，显然，m，n属于正整数且m小于等于n）。早上去学校，利用早读前的时间更严谨地写出递推公式：Qnm=2Q（n-1）m+Q（n-1）（m-1）(当然，有初始值Q30=8，Q31=12，Q32=6)对于解这个式子的方法，我不清楚，但代入我猜想的解，是成立的。
大家可以发现，在以上过程中，我们一直拿立方体作对象，那么对其它图形呢？（我想，其他图形有类似的递推公式，另外，四维空间中可能有其不依赖于三维空间的图形，对此似乎要寻找其他方法）另外，什么是正的图形？二维平面里有无数个，三维空间中只剩下5个（如果把多种正多边形组成的“正”多面体算在其内就不只五个了），是不是因为要求变多？但变量不是也变多了吗？

文中符号显示有问题，大家能看懂就行

空间, 维度

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