最少点确定矩形的问题

kexin_xiao

和LZ学习，大学学的数学都忘了！

lulijie

关于 最少点确定矩形的问题 的修正
我开始得出N=5，事后我发现答案是错的，后来我想了好久，大概想明白了。
N=4，方程有7个，未知数有8个，肯定有无数个解，故4肯定不是最小值。
那么N=5时，已知5个点的坐标，就能得出唯一解么？
不尽然，而是有5个解，也就是有5个矩形满足条件。
我们从矩形上取5个点，为了满足条件，每条边上都必须有点取到（而且该点还不能是顶点）。否则，假设有一条边没取到，那么垂直于该条边的两条边，向该条边的方向上延伸的任何矩形都满足条件，故是不可能的。
那么5点分布在4条边上，至少有2个点，这两个点在一条边上。
假设5点分别是点A、B、C、D、E。
1.A和B在满足一条直线方程，剩下的3个点分别满足其他3条直线方程，这样得到一组方程组，解得一个唯一解。
2.B和C在满足一条直线方程，剩下的3个点分别满足其他3条直线方程，这样得到另一组方程组，又解得另一个唯一解。
还有其他组合，又得到其他解。但不是任何两点组合都能得到解。总共只有5个组合有解。

A和C是不可能在一条边上的，因为AC连线把其他3点分开在两边，这对于AC是矩形的一条边是不可能的。
点A、B、C、D、E组成一个凸五边形，它的任何一条边都可以作为一个矩形的边。
比如C和D，过A作CD的平行线，过B、E分别作CD的垂线，这四条线围成的矩形就满足条件。故共有5个矩形满足条件。
所以N=5，不是最小值。N应该等于6。
N=6时，共有9个方程式，8个未知数，故只要ABCDE5个点选择好，方程组除了原先的矩形，就无其他解了。
也就是6个点唯一确定一个矩形。

noski

原帖由 lulijie 于 2009-1-7 00:23 发表
下面讨论  “骰迷” 的     『以最少點決定唯一長方體問題』
空间  多少个点决定长方体？
长方体6个面，6个面的方程，18个未知数
    z＝a*x＋b*y＋c
N个点确定N个等式
有2个面平行，多了2个等式
另外2个面平行，又多了2个等式
还有2个面平行，再多2个等式
前2个面与另外2个面垂直，多1个等式
前2个面与后2个面垂直，再多1个等式
总共N＋8个等式
故N的最小值为18－8＝10

刚才想错了。。

[ 本帖最后由 noski 于 2009-1-7 16:56 编辑 ]

lulijie

修正  “骰迷” 的   『以最少點決定唯一長方體問題』
空间  多少个点决定长方体？
长方体6个面，
    面方程可表示为 z＝a*x＋b*y＋c
    6个面方程，18个未知数
点在面上，那么点的坐标满足其中的一个面方程，得到一个等式。
N个点在面上，得到N个等式。
有2个面平行，这个限制条件，原先我认为得到一个等式，其实是错误的，应该是2个方程式。
   比如2个面方程分别表示为
      z＝a1 * x＋b1 * y＋c1
      z＝a2 * x＋b2 * y＋c2
   2个面平行的充要条件  a1=a2
                       b1=b2  
   2个面垂直的充要条件  a1 * a2 + b1 * b2 = -1
故3对面互相平行共得到6个等式
前2个面与另外2个面垂直，得到1个等式
前2个面与后2个面垂直，再多1个等式
    原先我认为（前2个面与另外2个面垂直，且前2个面与后2个面垂直），能得出另外2个面和后2个面垂直，这是错误的，故要满足长方体的要求，还要加1个等式（另外2个面和后2个面垂直）。
总共N＋9个等式
故N的最小值为18－9 + 1=10
这个加上1很重要，原因同  “最少点确定矩形的问题”里的， 为了排除其他有限个解。
特别说明一下，其中  等式  a1 * a2 + b1 * b2 = -1  是未知数的2次项的和，可能会多解出几个解，不过无所谓了，已经增加了一个点，已足够消除这些有限解。

骰迷

看到這，我有一點懷疑
以上全是理論上的東西，實際上畫點時已能排除一些可能。
下圖的五點與LZ理論的五點分別在：下圖有兩個邊點距離比其他點的距離長。左下的三點明確表示了直角，並沒有其他矩形能符合。

[ 本帖最后由 骰迷 于 2009-1-7 17:39 编辑 ]

lulijie

15楼举例完全正确，看来加1是不用加了。按照我12#的画法，有些点跑到边的延长线上了，这显然不符合要求。
其实方程式上的解只是要求点在直线上，但实际上要求点在线段上，所以要给点限制个范围，这就复杂了。

noski

既然现在是18-9＝9个点了，那么尝试一下，有没有反例呢？

lulijie

经过大家的讨论和提醒，我现在再次修正我的观点。
最少点确定矩形的问题 最少点N
     如果N=4，必然要从7个方程组成的方程组中解8个未知数，这有无数个解，不符合要求，故N大于4。
     那么N=5，要从几组（8个方程组成的方程组）中解8个未知数，可能有有限数个解，但通过精心的选择这5个点，使得解出的其他解，至少有一个点落在矩形边的延长线上，这些解就都不符合要求。只要能找到这5个点，那么
最小值就是5，否则就等于6        
已经有人找到这样5点。故N=5。

最少點決定唯一長方體問題
最少点N
如果N=8，必然要从17个方程组成的方程组中解18个未知数，这有无数个解，不符合要求，故N大于8。
那么N=9，要从几组（18个方程组成的方程组）中解18个未知数，可能有有限数个解，但通过精心的选择这9个点，使得解出的其他解，至少有一个点落在面的延长面上，这些解就都不符合要求。只要能找到这9个点，那么
    最小值就是9，否则就等于10        
N=9还是10，我没把握，但我认为9的可能性大些。

骰迷

http://bbs.mf8-china.com/viewthr ... page%3D1&page=2
#17講到九個點，看似可行，等高手

lulijie

9个点在空间，把原长方体拿走，你再转几个圈，不是只垂直地面转，假设你在真空中，不分上下前后左右，你转圈后，就只知道空间有9个点，分不清该选那3个点确定平面。其实9个点分布在6个面上，凭什么要求有3个点在某个面上呢，也可以有3个面，每个面上2点，其他3个面，每个面上1点。这样的长方体也应该允许它在空间存在啊。关键是经过精心选择的9个点，其他长方体能否构造出来。有3个面，每个面上2点。因为2点是确定不了平面的，经过它有无数个平面，能否从这3组无数个平面中找到3个平面它们相互垂直并且满足其他3点在其他3个面上呢。这里需要丰富的空间想象力。我一想这些，头脑就会犯晕。