【東方】有关1*3*3的最远步数，平均还原步数，全部状态数。。。

蘇打水儿

哇塞~~~真牛~~收藏了~~

阿力

我居然都没有亲眼看见过这个魔方，哎，人生一大遗憾

noski

回复乌木前辈，其实这倒不算是数学计算，只是穷举，重复性的工作还是交给计算机来做：）
不知这192个状态能否画出个“态态关系网”，继续尝试一下。。

最短的循环应该就是“RLRL”这种了吧，不过知道这算不算是循环，大家在讨论3阶魔方的循环的时候，没有人考虑这种，考虑的都是“RRRR”这样的四步循环。

最远的8步态的一个公式：
R L F R F B R F

乌木

那么，最远态就是：
      

不严格的验证一下：这个态再走一步，比如，R2，应该往回走，得到7步态中的某一态。R2的作用就是把这最远态的角0和角3交换，第四个棱块翻正，使最远态的代码[C:(0,1,2,3) E:(1,1,1,1)]变为[C:(3,1,2,0) E:(1,1,1,0)]，后者正是7步态之一！
   

同样方法不难看出，最远态分别再走一步R2,F2,L2和B2的话，正好分别得到4个7步态。也就是说，4个7步态的12个后代一定是消去了11个同态，才得到这一个最远态。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-7-8 15:15 编辑 ]

haohmaru

原帖由 乌木 于 2009-7-8 14:42 发表
4个7步态的12个后代一定是消去了11个同态，才得到这一个最远态。

严重同意！
5步态之后的状态数严重削减
我认为就是同态数的增长超过步态数的增长
最终导致同态数-步态数=1的情况
8步以后就全是同态了

乌木

“8步以后就全是同态了”，对，确切说就是，最远态之后，可以继续转魔方，但是变化出来的态都在已有的192个态中了，没有创新了。

ggglgq

原帖由 noski 于 2009-7-8 13:44 发表
  
最短的循环应该就是“RLRL”这种了吧，不过知道这算不算是循环，大家在讨论3阶魔方的循环的时候，没有人考虑这种，考虑的都是“RRRR”这样的四步循环。
  

　　　　
　　
  
    RR 、 LL 、 FF 、 BB 都是 1×3×3 魔方的循环变换！ 当然 最短的循环
  
应该是它们了！
  
    这里要注意： 虽然表面上看   RR = RR' ，但 RR 是循环变换，RR' 却是
  
无效变换！  这就是严谨的“数学”概念！  请大家务必 正确 理解 ！
  
   
  
   
　　
　　

原帖由 noski 于 2009-7-8 13:44 发表
  
最远的8步态的一个公式：R L F R F B R F
  
不知这192个状态能否画出个“态态关系网”，继续尝试一下。。
   

   
   
   
    针对 1×3×3 魔方最远状态的一个公式： R L F R F B R F
  
    再结合 “奇偶差异性魔方”的两个定理：
   
     定理一： 设 奇偶差异性魔方 的最长变换的长度为 x ，并设：
              a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax
为其中任意一个长度为 x 的最少步变换，设这个变换为 A ，
即：A = a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax ，又设 d 为任一个步长为 1 的变换，
那么：对于这个最长变换 A 存在一个由 d 开始的长度为 x 的最少步变换 B ，
使得：A = B 。
  
     定理二： 设 奇偶差异性魔方 的最长变换的长度为 x ，并设：
              a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax
为其中任意一个长度为 x 的最少步变换，设这个变换为 A ，
即：A = a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax ，又设 d 为任一个步长为 1 的变换，
那么：对于这个最长变换 A 存在一个由 d 结束的长度为 x 的最少步变换 B ，
使得：A = B 。
  
谈谈下面几点看法：
  
    1、 1×3×3 魔方最远状态只有一个，由循环变换理论得 R L F R F B R F
  
的“循环公式”八个“公式”全部指向同一状态－－－ 1×3×3 魔方的最远
   
状态！ 即“循环公式” R L F R F B R F 为该魔方的一个“最长循环公式”。
  
从而得到  R L F R F B R F R L F R F B R F 为该魔方的一个最长循环变换！
  
    2、循环公式 R L F R F B R F 验证了“奇偶差异性魔方”的两个定理。
  
    3、由 R L F R F B R F 等“循环公式”可指导大家绘制 1×3×3 魔方
  
的“态态关系网”。
  
　　
　　
　　
　　
　　


　　
　　
　　

乌木

20楼你理出来一个表：
初始态：1种
一步态：4种
二步态：10种
三步态：24种
四步态：53种
五步态：64种
六步态：31种
七步态：4种
八步态：1种

好像其中还有趣事：8步态分别做四个动作就分别得到4个7步态，这有如0步态与4个1步态的关系，这一点上面我已经在noski的计算结果表中核实过。但是4个7步态继续往回走时，出来31个6步态，这很不同于1步态到2步态的情况－－只有10个2步态。
为什么逆行时和正行时是不对称的？我初步想想，是不是有两种可能：
一，4个7步态逆行时直接得到并消同态后的也是10个6步态，而31－10＝21个6步态之中，有一部分是“恢复”某些7步态的同态（同态但不同的7步路线）之后，再逆行一步得到的（？），当然也是6步态。
二，21个6步态中另一部分可能是再走一步的话，没有新态，既不是7步态，更不可能是8步态，而是直接就往回走了，也就是说，从初态一路走到它这个6步态，已经是它这一路线的最远态了。不知可能吗？

乌木

这种魔方的R是R2的省略记录法，而这里R2和R'2等价，所以这里的（省略法的）RR也可以记为RR'，即R2R'2 。那么，究竟算循环变换还是无效变换呢？g老师的意思是不是这样，两次顺时针或两次逆时针转，算循环变换，一顺一逆或一逆一顺，算无效变换。是吗？也就是说，此事还与手法有关？一串步骤中插入若干对RR，有效（且不管有何种效果）；插入若干对RR'，就无效。对吗？
　　　　
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　　这个问题是“纯数学问题”，您很难理解的。 算了，不给您解释了！
　　
                                             ggglgq  回复！
  
  　　　

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-7-9 11:28 编辑 ]

ggglgq

原帖由 乌木 于 2009-7-9 10:47 发表

二，21个6步态中另一部分可能是再走一步的话，没有新态，既不是7步态，更不可能是8步态，而是直接就往回走了，也就是说，从初态一路走到它这个6步态，已经是它这一路线的最远态了。不知可能吗？

　　
　　
  
  
    这是 1×3×3 魔方的“终极状态”在表演杂技呢，呵呵！
  
    魔方的“终极状态”请大家参考
  
      魔方状态变换序列  http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=153&page=6#pid7061
　　
  
    请大家对比参考 2×2 平魔的终极状态：