[原创]N阶正方体色子阵魔方状态变换定律:第四版

pengw

N阶正立方体魔方定律 预言N阶正立方体魔方任意状态

忍冬

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更新说明:修订了扰动相关的定义,应用举列增加"复原算法分析","公式循环原理"

更新日期:2005年4月19日

----------------------------------------------- 1. 作者自序 本文首次从簇内/簇间关系的全新角度,从大尺度方向,以方程形式，描述任意阶魔方变换规律,探讨魔方内在因果,在描述N阶正立方体魔方任意状态方面完全自足,即N阶魔方任意状态受本定律约束.本文对玩家理解N阶魔方状态具有全面的指导意义,N阶定律在"魔方复原方法,公式循环原理,魔方状态计算,魔方错误组装状态分析"等应用领域有重要指导价值. 本文是作者经历多次不成功偿试后，于2005年春节期间历经十天痛苦思索的结果, 文章的正确性有待读者广泛验证，敬请各位不吝赐教。 本文引用了大烟头等价定理: 2n+1阶魔方包含2n阶魔方的一切性质,此定理属大烟头原创 感谢CUBE,老猫的鼎力支持. 基础要求:作者在此假定至少你对三阶魔方熟悉 相关术语在第5章"魔方约定"中解释

除特别声明外,缺省以全色魔方为讨论对象,全色魔方定义参见第5章"魔方约定" ---------------------------------------------------------------------- 2. 魔方变换 2.1. 基本性质 以下魔方基本性质是建立描述的基础： * 魔方由簇构成,簇数因阶数不同而不同 * 块只能在所属簇内变换 * 簇内块可以独立相互影响,簇之间可以相互影响彼此块的状态 * 四个块交换位置是魔方结构定义的固有属性 * 三个块交换位置是四个块交换位置复合使用的等效结果 * 2n+1阶魔方包含2n阶魔方的一切性质 2.2. 变换层次 在一个簇内,块之间可以相互影响,同时,簇与簇之间通过一定法则,可以影响彼此块的状态,因此,魔方变换可分为簇内变换与簇间变换二个层次,魔方状态正是这二个层次的变换相互作用的结果. 簇内变换性质在三阶就完备了,相对魔方阶数不变,簇间变换性质随着魔方阶数增大而变的非常复杂,这正是文章讨论的重点. 2.3. 簇内变换 簇内变换:簇内块之间的变换,对外簇没有任何影响 2.3.1. 中心块色向 设: X,Y,Z分别代表中心块:0,|±90|,180三个状态 HC变换: Y+Y<=>X+X：任意二个Y独立变换为2个X,反之亦然. Z<=>X：任一Z独立变换为X状态,反之亦然 即: * 任一中心块可独立转180度 * 任一中心块独立转90度,必然导致任意另一中心块独立转90度 2.3.2. 中棱块色向 设中棱块的二个色向表示为: XY,YX XY:基态色向;YX:反转色向 设:XY=0,则:XY+YX=0 运算定义:相关状态互消为基态图色向 设置MCi是第i个中棱块的色向 MCi={XY,YX} MC变换: ^_MC= 即: * 中棱块色向和恒等于零 * 推论1:任一中棱块色向独立改变一次,必然导致任意另一中棱块色向独立改变一次 * 推论2:总能锁定任一图案中棱块色向,使之与中棱块环无关 2.3.3. 边角块色向 设边角块的三个色向表示为: XYZ,ZXY,YZX XYZ:基态色向;ZXY:顺转色向;YZX:逆转色向 设XYZ=0,则ZXY+YZX=0,3*ZXY=0,3*YZX=0 运算定义:相关状态互消为基态图色向 设ACi是第i个边角块的色向 ACi={XYZ,ZXY,YZX} AC变换: AC= 即: * 边角块色向和恒等于零 * 推论1:任一边角块色向独立改变一次,必然导致任意另一边角块色向独立改变一次 * 推论2:总能锁定任一图案边角块色向,使之与边角块环无关 2.3.4. 通用三交换 CT变换:中心块簇以外的任何簇的任意三个块可独立互换位置 2.4 簇内状态 通过对簇状态分析,即可断定簇是否受到外部扰动 2.3.5. 簇态定义 基态块:块保持基态图案上的位置与色向称为基态块 簇状态:簇块位置与色向的集合 簇状态集:一个簇所有簇状态的集合 基态簇:能通过簇内变换,使得簇的所有块是基态块 扰动簇:不能通过簇内变换, 使得簇的所有块是基态块 2.3.6. 中心块扰动簇 扰动特征:有唯一中心块转动了90度 显然,外部扰动一次,是通过让簇内一个中心块转动90度体现 2.3.7. 位移块扰动簇 扰动特征:有唯一的二个块互换了位置 显然,外部扰动一次,是通过让簇内四个块互换位置体现 2.3.8. 扰动法则 依据簇内变换规则,可得出以下结论: * 一个基态簇受到奇次扰动变成扰动簇,受到偶次扰动仍然是基态簇. * 一个扰动簇受到奇次扰动变成基态簇,受到偶次扰动仍然是扰动簇. * 一个簇只有一个基态簇只有一个扰动簇,且彼此的簇状态互不相同,但彼此的簇状态数相同 簇状态集是基态簇状态集与扰动簇状态集之和 2.4. 簇间变换 除个别特例外,扰动簇不能独立存在,因此需要确定扰动簇间的依存关系,在3阶,中心块,中棱块,边角块三个扰动簇,是他们彼此最小的依存关系,其中任意一个绝对依存另外二个,任意一个不能独立存在. 扰动簇之间的依存关系特定于魔方阶数,高阶魔方有不止一个依存关系,随着阶数增加,依存关系的数量及复杂性也增加. 为了正确理解某阶魔方的状态,明确描述每一种依存关系是必要的,由于魔方阶数无限,找出一种统一描述依存关系的数学方法是本节的任务. 扰动关系:将扰动簇之间的依存关系称为扰动关系,为描述方便,将所有簇都是基态簇的魔方状态视为一种扰动关系,称为零态扰动关系, 用Φ表示.扰动关系是由魔方结构定义的内凛属性. 注:2阶边角块扰动簇,4阶边棱块扰动簇是可以独立存在的扰动簇 2.4.1. 扰动定义 显然,魔方表层或内层的90度转动生成的全是含四个块的偶环,表层90转动使的中心块也90度转动.180度转动是将90转动造的偶环全部二分为二个更小的偶环,并将中心块转为180.因此180度转动造的环及中心块色向可以用簇内变换全部造出或全部消除,从而有以下结论: 180度转动:不扰动任何簇 90度转动:与转动层相交的簇,有的生成奇数个偶环,有的生成了偶数个偶环,只有生成奇数个偶环的簇被扰动, 中心块只受表层90度转动扰动. 基本扰动关系:任意层90度转动,生成的扰动关系 复合扰动关系:多个基本扰动关系的复合 全体扰动关系: 基本扰动关系+复合扰动关系+零态扰动关系 扰动关系的实质是基态簇与扰动簇的搭配关系,二阶与三阶分别有二种搭配关系,即全体基态簇的搭配及全体扰动簇的搭配,四阶与五阶分别有三种搭配关系,六阶与七阶分别有8种搭配关系,2n阶与2n+1阶分别有2ⁿ种搭配关系 2n及2n+1阶魔方有一个表层及n-1个内层，如果能找出表层及n-1个内层的基本扰动关系的方程描述,即可描述任意阶魔方的所有扰动关系. 注：在二个平行表面间有：2*（n-1)个内层，含中棱块的内层不产生扰动关系,几何对称的内层产生等价扰动关系，且每个表面也产生等价扰动关系，所以在此只讨论1个表层及n-1个不含中棱块的内层。 2.4.2. 扰动方程 为简化表达,在不混稀的前提下,在扰动方程及扰动计算中,用簇的名称代表对该簇的一次扰动,用层的名称代表该层的基本扰动关系,用层名称的和代表复合扰动关系. 显然n>=1才有意义 2.4.2.1. 奇阶扰动方程 H:中心块簇 M:中棱块簇 F:直棱块簇 Fi:第i内层直棱块簇 存在条件： 1<=i<=n-1,n>=2 E:心棱块簇 Eij: 第i内层j位的心棱块簇 存在条件： 1<=i<=n-2,1<=j<=2(n-i-1),n>=3 C:心角块簇 Ci:第i内层心角块簇 存在条件： 1<=i<=n-1,n>=2 B:边棱块簇 Bi:第i内层边棱块簇 存在条件： 1<=i<=n-1,n>=2 A:边角块簇 L:内层,表层以下,不含中棱块的层 Li:第i内层 存在条件: 1<=i<=n-1,n>=2 Li在扰动方程中代表i层基本扰动关系 S:面层 St:第t面层 ,t=(U,D,L,R,F,B) St在扰动方程中指代表层基本扰动关系 中心块簇数 H=1 心棱块簇数 E=n2-3n+2 心角块簇数 C=n-1 直棱块簇数 F=n-1 中棱块簇数 M=1 边棱块簇数 B=n-1 边角块簇数 A=1 奇阶总簇数 n2+2 偶阶总簇数 n2-n+1 Li层扰动Li层E簇: 存在条件:n>=3,1<=i<=n-2 Li层扰动外层E簇: 存在条件:n>=3,2<=i<=n-1 Li层扰动Li层B簇: Bi 存在条件:n>=2,1<=i<=n-1 Li层扰动Li层F簇: Fi 存在条件:n>=2,1<=i<=n-1 Li内层扰动方程 Li= ++Fi+Bi St层扰动E簇: 存在条件:n>=3 St层扰动C,F簇: 存在条件:n>=2 St层扰动H簇:H 存在条件:n>=1 St层扰动M簇:M 存在条件:n>=1 St层扰动A簇:A 存在条件:n>=1 St表层扰动方程 St= + +H+M+A 2.4.2.2. 偶阶扰动方程 2n+1阶扰动方程去掉H,M,F项后就是2n阶扰动方程 Li= ++Bi #Li内层扰动方程 St=++A #St表层扰动方程 显然,从扰动方程角度,即可映证:2n+1阶魔方,包含2n阶魔方一切性质 2.4.2.3. 扰动计算 设Li代表i内层扰动关系,St代表任一表层扰动关系 基本扰动关系集合：RB=+St 存在条件：n>=2 复合扰动关系集合：RM= 存在条件：n>=2 全体扰动关系集合：RT=RB+RM+Φ 扰动关系数量：RC=2ⁿ 显然,扰动关系代表簇间关系,本质上反映基态簇与扰动簇的所有组合关系 2.4.2.4. 计算举列 计算原则:相同簇的二次扰动互消为零,因此在扰动方程计算中,名称相同的量互消为零 例: A+A=0 #对边角块簇的二次扰动之和为零 B1+B1=0 #对同一边棱块簇的二次扰动之和为零 E12+E12=0 #对同一心棱块簇的二次扰动之和为零 ------------------------------------------

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3.应用举例

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3.1. 二阶魔方定律
n=1,阶数=2n=2
3.1.1. 基本参数
心棱块簇数 E=n2-3n+2=0
心角块簇数 C=n-1=0
边棱块簇数 B=n-1=0
边角块簇数 A=1
2阶总簇数 n2-n+1=1
内层数=n-1=0
所有簇的集合:CA={A}
3.1.2. 簇间变换
RB=+St= St
St=++A =A
所有扰动关系:
St= A
Φ
注意:" St= A"在此预言了二阶任意二个边角块可以独立互换位置
3.1.3. 簇内变换
AC变换
CT变换

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3.2. 三阶魔方定律
n=1,阶数=2n+1=3
3.2.1. 基本参数
中心块簇数 H=1
直棱块簇数 F=n-1=0
中棱块簇数 M=1
心棱块簇数 E=n2-3n+2=0
心角块簇数 C=n-1=0
边棱块簇数 B=n-1=0
边角块簇数 A=1
三阶总簇数 n2+2=3
内层数=n-1=0
所有簇的集合:CA={H,M,A}
3.2.2. 簇间变换
RB=+St= St
St= + +H+M+A
=H+M+A
所有扰动关系:
St= H+M+A
Φ
注: "St= H+M+A",即三阶所谓的中棱角变换
3.2.3. 簇内变换
HC变换
MC变换
AC变换
CT变换

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3.3. 四阶魔方定律
n=2,阶数=2n=4
3.3.1. 基本参数
心棱块簇数 E=n2-3n+2=0
心角块簇数 C=n-1=1
边棱块簇数 B=n-1=1
边角块簇数 A=1
四阶总簇数 n2-n+1=3
内层数=n-1=1
所有簇的集合:CA={C1,B1,A}
3.3.2. 簇间变换
RB=+St =L1,St
RM= = (L1+St)
L1= ++Bi =B1
St=++A =C1+A
所有扰动关系:
L1= B1
St= C1+A
L1+St= C1+B1+A
Φ
注意:" L1= B1"在此预言了四阶任意二个边棱块可以互换位置
3.3.3. 簇内变换
AC变换
CT变换

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3.4. 五阶魔方定律
n=2,阶数=2n+1=5
3.4.1. 基本参数
中心块簇数 H=1
直棱块簇数 F=n-1=1
中棱块簇数 M=1
心棱块簇数 E=n2-3n+2=0
心角块簇数 C=n-1=1
边棱块簇数 B=n-1=1
边角块簇数 A=1
5阶总簇数 n2+2=6
内层数=n-1=1
所有簇的集合:CA={H,C1,F1,M,B1,A}
3.4.2. 簇间变换
RB=+St =L1,St
RM= = (L1+St)
L1= ++Fi+Bi =F1+B1
St= + +H+M+A =C1+F1+H+M+A
所有扰动关系:
L1= F1+B1
St= C1+F1+H+M+A
L1+St= C1+B1+H+M+A
Φ
注:上面变换预言了5阶任一簇的二个块不能独立换位
3.4.3. 簇内变换
HC变换
MC变换
AC变换
CT变换

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3.5. 六阶魔方定律
n=3,阶数=2n=6
3.5.1. 基本参数
心棱块簇数 E=n2-3n+2=2
心角块簇数 C=n-1=2
边棱块簇数 B=n-1=2
边角块簇数 A=1
六阶总簇数 n2-n+1=7
内层数=n-1=2
所有簇的集合:CA={E11,E12,C1,C2,B1,B2,A}
3.5.2. 簇间变换
RB=+St =L1,L2,St
RM= = (L1+L2),(L1+St),(L2+St),(L1+L2+St)
L1= ++Bi =E11+E12+B1
L2= ++Bi =E11+E12+B2
St=++A =E11+E12+C1+C2+A
所有扰动关系:
L1= E11+E12+B1
L2= E11+E12+B2
St= E11+E12+C1+C2+A
L1+L2= B1+B2
L1+St= C1+C2+B1+A
L2+St= C1+C2+B2+A
L1+L2+St= E11+E12+C1+C2+B1+B2+A
Φ
注意:"L1+L2= B1+B2"在此预言了B1与B2二个边棱块簇,可分别有任意一对块互换位置,因此六阶任意一条棱上所有棱块可整体独立原地翻转180度
3.5.3. 簇内变换
AC变换
CT变换

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3.6. 七阶魔方定律
n=3,阶数=2n+1=7
3.6.1. 基本参数
中心块簇数 H=1
直棱块簇数 F=n-1=2
中棱块簇数 M=1
心棱块簇数 E=n2-3n+2=2
心角块簇数 C=n-1=2
边棱块簇数 B=n-1=2
边角块簇数 A=1
七阶总簇数 n2+2=11
内层数=n-1=2
所有簇的集合:CA={H,E11,E12,C1,C2,F1,F2,M,B1,B2,A}
3.6.2. 簇间变换
RB=+St =L1,L2,St
RM= = (L1+L2),(L1+St),(L2+St),(L1+L2+St)
L1= ++Fi+Bi =E11+E12+F1+B1
L2= ++Fi+Bi =E11+E12+F2+B2
St= + +H+M+A=E11+E12+C1+C2+F1+F2+H+M+A
所有扰动关系:
L1= E11+E12+F1+B1
L2= E11+E12+F2+B2
St= E11+E12+C1+C2+F1+F2+H+M+A
L1+L2= F1+F2+B1+B2
L1+St= C1+C2+F2+B1+H+M+A
L2+St= C1+C2+F1+B2+H+M+A
L1+L2+St= E11+E12+C1+C2+B1+B2+H+M+A
Φ
3.6.3. 簇内变换
HC变换
MC变换
AC变换
CT变换
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3.7. 偶阶魔方定律
阶数=2n,n>=1
3.7.1. 基本参数
心棱块簇数 E=n2-3n+2
心角块簇数 C=n-1
边棱块簇数 B=n-1
边角块簇数 A=1
2n阶总簇数 n2-n+1
内层数=n-1
3.7.2. 簇间变换
基本扰动关系集合：RB=+St
复合扰动关系集合：RM=
Li= ++Bi

St=++A

所有扰动关系:RT=RB+RM+Φ
依据扰动方程,不难证明1+L2...+Ln-1= B1+B2...+Bn-1
上述扰动关系预言,2n阶魔方的每个边棱块簇,可以同时分别有一对边棱块互换位置,同时魔方所有其它块保持基态块,因此2N阶魔方任意一条棱上所有棱块可独立整体原地转动180度
3.7.3. 簇内变换
AC变换
CT变换

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3.8. 奇阶魔方定律
阶数=2n+1,n>=1
3.8.1. 基本参数
中心块簇数 H=1
直棱块簇数 F=n-1
中棱块簇数 M=1
心棱块簇数 E=n2-3n+2
心角块簇数 C=n-1
边棱块簇数 B=n-1
边角块簇数 A=1
2n+1阶总簇数 n2+2
内层数=n-1
3.8.2. 簇间变换
基本扰动关系集合：RB=+St
复合扰动关系集合：RM=
Li= ++Fi+Bi
St= + +H+M+A

所有扰动关系:RT=RB+RM+Φ
依据扰动方程,不难证明,2n+1阶最简单扰动关系:St=H+M+A,即2n+1阶任意簇任意二个块不能独立换位.
3.8.3. 簇内变换
HC变换
MC变换
AC变换
CT变换
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4. 定律推论
错装判断
n阶魔方存在与"n阶定律"冲突的图案,即可断定魔方有组装错误
通用变换
完全复原魔方的任何一般性方法，是实现任意二种图案转换的通用方法
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5. 魔方约定
5.1. 魔方定义
由于2n+1阶魔方包含2n阶魔方的一切性质,为描述方便,此处选择具备所有定义要素的9阶魔方作为魔方定义样本
5.1.1. 结构
正方体色子阵魔方,色子数>大于或等于4,色子结构是正方体,描述对象是,正方体色子阵魔方表层色子所有可见面的状态.

5.1.2. 参照
方位参照系:上,下,左,右,前,后
方位符:上:U,下,左,右:R,前:F,后:B

5.1.3. 着色
用方位符UDLRFB分别着色上下左右前后六面,以此法着色的魔方称为纯色魔方
色标:块上的方位符称为该块的色标

5.1.4. 基态图案
任选六面单色魔方的一条立方体对角线二端的二个边角块,作为各面的定位基准,并以这二个边角块的六个色标,分别做为每个面左上角色标,每个面以左上角色标为编号起点,从左向右,从上至下对所有色标编号,此时的魔方图案称为基态图案.
* 包含基态图案的魔方,变换时,没有纯色魔方(六面分别单色)的二义性
* 基态图案是变换的基准参照
全色魔方:含有基态图案的魔方称为全色魔方

5.1.5. 转层
表层:与任一表面联动的层,称为表层,表示为S
St表层,t={U,D,L,R,F,B}
内层:表层以下,不含含中棱块的转动层称为内层,表示为L,距表面最近的内层为L1层,L1层下面是L2层...Li层下面是Li+1层,1<=i<=n-1,n>=2
注：在二个平行表面间有：2（n-1)个内层，几何对称的内层产生等价扰动关系，且每个表层也产生等价扰动关系，所以在此只讨论1个表层，n-1个内层
5.1.6. 动块

图5-1-6:图中编号相同的块同簇,编号就是簇名
块:有色标及编号的活动部件叫块,表示为BK
簇:可相互换位置的块的集合,为描述方便,也将中心块的集合称为一个簇,用CA表示魔方所有簇的集合

心块:一个方位符标识的块叫心块
中心块:6个相对位置不变的心块称做中心块, 用H表示
中心块簇:中心块的集合,用H表示
心角块:任一面上,位于对角线上的心块(不含中心块),用C表示
心角块簇:由心角块构成的任意簇,心角块有n-1簇,与内层Li相交的心角块簇称为第i层心角块簇,表示为:Ci簇
直棱块:任一面上,与中心块,中棱块在一条线的心块,称为直棱块,表示为F
直棱块簇: 由直棱块构成的任意簇,直棱块有n-1簇,与内层Li相交的直棱块簇称为第i层直棱簇,表示为:Fi
心棱块:任一面上,除去中心块,心角块后,直棱块,其它心块称心棱块,用E表示
心棱块簇:由心棱块构成的任意簇,心棱块簇共有n2-3n+2簇,将四个共面i层心角块,以左手转动法则定向,则距共边任一心角块最近的心棱块称为Ei1,次近称为Ei2...Eij,1<=i<=n-2,1<=j<= n2-3n+2,n>=3,Eij所属的簇,称为Eij簇
棱块:二个方位符标识的块叫棱块
中棱块:魔方任一棱上唯一居中的棱块称为中棱块,中棱块色标自左向右排列代表中棱块色向,中棱块的色标指示其基态位置,中棱块用M表示
中棱块簇:中棱块的集合,中棱块只有一个簇,用M表示
边棱块:棱块除去中棱块,其它棱块称边棱块,用B表示
边棱块簇: 由边棱块构成的任意簇,边棱块有n-1簇,与内层Li相交的边棱块簇称为第i层边棱块簇,表示为:Bi
边角块:三个方位符标识的块叫边角块,边角块色标自左向右排列代表边角块色向,边角块色标指示其基态位置,边角块用A表示
边角块簇: 边角块的集合, 边角块只有一个簇,用A表示
所有定义见图5-3-1图
5.1.7. 位置
中棱块位:由二个方位符唯一定义的位置称中棱块位
边角块位:由三个方位符唯一定义的位置称边角块位
其它块位:由块的色标及色标的编号共同指定
5.1.8. 色序
色序:中心块,中棱块,边角块在同一位置有不同状态,称为色向,从任一中棱块,中心块,边角块位置描述色向的方法叫该位置的色序
心棱块,心角块,直棱块,边棱块在任意可能的位置有唯一方向,因此其位置隐含其色向,在此没有定义色序的必要.
中心块转量:Xy，X表示X面心块，小写y表示任一与X面领接的面，读为：X中心块朝向y面,以Xy代表X中心块转量
中心块色向:中心块的一个转量称为中心块的一个色向
中心块色序:上下二个面的中心块相对前面转量为零,左,右,前,后面的中心块相对上面转量为零,定义如下:
Uf,Df,Lu,Ru,Fu,Bu
边角块位色序:读一个位置上当前边角块色标的顺序,XYZ表示从X面经Y至Z读出当前边角块的色标,定义如下:
FLU,LBU,BRU,RFU,FRD,RBD,BLD,LFD
中棱块位色序:读一个位置上当前中棱块色标的顺序,XY表示从X面至Y面读出当前边棱块的色标,定义如下:
LU,BU,RU,FU,FR,RB,BL,LF,FD,RD,BD,LD
色向参照系:中棱块位色序,中心块位色序,边角块位色序的集合
FLU,LBU,BRU,RFU,FRD,RBD,BLD,LFD
LU,BU,RU,FU,FR,RB,BL,LF,FD,RD,BD,LD
Uf,Df,Lu,Ru,Fu,Bu

5.1.9. 图案
任一魔方图案是所有簇当前状态的集合
设CTi表示i簇的当前状态,则魔方图案P表示如下:
P= 2n+1阶,n>=1
P= 2n阶, n>=1
5.1.9.1. 三阶图案
只有二,三阶仅用方位符可完整表示图案, 在此只给出三阶以内表达式.通过增减簇,即可推广用于表达任意其它阶魔方图案.
第一行表示边角块簇,第二行表示中棱块簇,第三行表示中心块簇,括符内的块表示簇的一个环,从左向右是换位顺序,括符外的块保持基态图案上的位置,每个块的色标读出顺序是该块当前色向,行内各单元以逗号分隔，以下是图列.
5.1.9.2. 图案示例
3阶图案例子1:上面顺转90度
(FLU,LBU,BRU,RFU),FRD,RBD,BLD,LFD
(UL,UB,UR,UF),RF,BR,LB,FL,DL,DB,DR,DF
Ul,Df,Lu,Ru,Fu,Bu
3阶图案例子2:上面与前面分别顺转90度
(FLU,LBU,RUB,DFR,FDL),URF,RBD,BLD
(UL,UB,UR,RF,FD,LF,UF),BR,LB,DL,DB,DR
Ul,Df,Lu,Ru,Fr,Bu
3阶图案例子3:所有中棱块,边角块分别在一个环内
(FLU,LBU,BRU,RFU,FRD,RBD,BLD,LFD)
(UL,UB,UR,UF,RF,BR,LB,FL,DL,DB,DR,DF)
Ul,Df,Lu,Ru,Fu,Bu
3阶图案例子4:三阶基态图案
下面是3阶魔方基态图案:
FLU,LBU,BRU,RFU,FRD,RBD,BLD,LFD
UL,UB,UR,UF,RF,BR,LB,FL,DL,DB,DR,DF
Uf,Df,Lu,Ru,Fu,Bu
说明:基态图案是变换的基准参照.
5.2. 状态描述
5.2.1. 基础
魔方参照系:由方位参照系及定义在方位参照系上色向参照系共同构成
图案:一个静态魔方当前所有块的位置及色向的集合
完全复原魔方:重现任一图案,称为完全复原魔方
公式:魔方的一个有限转动步骤序列,用于完成一个特定变换
5.2.2. 环
环:参与一个循环位移的块的集合称为一个环
奇环：奇数个块组成的环
偶环：偶数个块组成的环

XX块环:XX块组成的环,如中棱块组成的环称中棱块环,边角块组成的环称为边角块环...等等

边棱块环,心棱块环,直棱块环,心角块环在某些阶要加上块的簇名来明确说明.

5.2.3. 色向
色向:块在同一位置的不同状态,称为色向
中心块色向:一个中心块相对其色序的旋转量,中心块有四个转动量
中棱块色向:一个中棱块相对其当前位置色序的一个色标排列,中棱块有二个可能个排列
边角块色向:一个边角块相对其当前位置的色序的一个色标排列,边角块有三个可能排列
中心块,中棱块,边角块之外的块,在任一可能位置有唯一色向,因此只有位置意义没有色向意义,通俗地讲,没有色向
5.2.4. 变换
变换:块的位置、色向改变称为变换
独立变换:魔方一个块的子集参与变换,其它块不受影响
循环位移:簇内一组块相对其基态图案上的位置的循环换位行为
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6. 作者自述
论文原创者:彭玮
6.1. 联系方式
电话:13308099923
qq:86040611
msn:honeysucklescn@yahoo.com.cn
6.2. 魔方简历
1983年3月,三阶复原
1988年8月,完成三阶复原程序设计
1989年6月, 三阶复原程序设计作为毕业论文
1989-2004,完全停止
2005年1月,三阶正方体色子阵魔方状态变换定律
2005年2月,N阶正方体色子阵魔方状态变换定律
2005年3月,基于N阶定律的魔方状态组合数计算公式
2005年4月,基于N阶定律的魔方复原算法分析
2005年4月,基于N阶定律的广义公式循理原理
2005年5月,基于N阶定律的公式循环周期极限计算

2005年11月,基于N阶定律的改良逐层复原方法
6.3. 权力声明
保留著作所有权力,限于非商业性使用,允许原文转载,但要注明作者
6.4. 谨此献给
献给:CDY
献给:17-24岁
6.5. 作者希望
若能为同好做出有益的参考,实为本人最大满足,希望我的论文终结除最优解法以外的所有困惑.
6.6. 发行日期

完成日期:2005年2月16日
发表日期:2005年2月19日
更新日期:2005年11月20日始,进行中

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忍冬

2005年12月05日

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pengw

3.9. 魔方状态计算 以下讨论针对全色魔方,只全色魔方的图案与魔方状态一一对应 3.9.1. 簇间关系 二种或二种以上扰动关系不能共存于魔方 3.9.2. 计算依据 1. 扰动关系代表了基态簇与扰动簇的所有组合关系 2. 依据簇内变换原则,任意基态簇和与之对应的扰动簇不存在相同的簇状态,并且彼此的簇状态数相同 3. 保持不同扰动关系的魔方之间不存在相同的图案,并且彼此间有相同的图案数 3.9.3. 计算方法 1. 从簇内变换的角度,计算出每个簇的簇状态数 2. 将所有簇的簇状态数相乘 3. 将第2条的计算结果乘以扰动关系数 3.9.4. 公式推导 3.9.4.1. 有色向簇的簇状态数计算 依据中心块簇内变换原则:

中心块簇状态数:H=4*4*4*4*4*2

依据簇内三交换及色向变换原则:

中棱块簇状态数:M=24*22*20*18*16*14*12*10*8*6*2 边角块簇状态数:A=24*21*18*15*12*9*3 3.9.4.2. 无色向簇的簇状态数计算 用C代表任意无色向簇,由正立方体魔方结构定义及簇内三交换原则可知: 任意无色向簇状态数:C=24!/2

对纯色魔方而言,无色向心块簇的每个簇状态,共有六组四四同色的元素,依据簇内三交换原则,每个簇状态共有12⁶种相同状态,因此必须除去多余的相同状态,即纯色魔方无色向心块簇的簇状态数,是

全色魔方无色向心块簇的簇状态数除12⁶,即24!/(2*12⁶)

对纯色魔方而言,无色向棱块簇的每个簇状态,共有12组二二同色的元素,依据簇内三交换原则,纯色与全色的无色向棱块簇的簇状态数相同,即24!/2

3.9.4.3. 扰动关系计算 用R代表扰动关系数,由扰动关系计算可知: n>=1 R=2ⁿ

纯色魔方扰动关系与全色魔方扰动关系数相同,但是,除零态扰动关系外,所有其它扰动关都有扰动簇丢失,这种情况对计算无影响,计算只关心扰动关系数.

3.9.4.4. 偶阶魔方图案数计算 n>=1 阶数=2n 3.9.4.4.1. 全色魔方 无色向簇的总数=n²-n 有色向簇的总数=1 图案数P=A*C^n2-n*2ⁿ 3.9.4.4.2. 纯色魔方 任一无色向心块簇全组合数E=24!/(2*12⁶),此计算排除相同簇状态 无色向棱块簇的总数=n-1 无色向心块簇的总数= n²+1 有色向簇的总数=1 图案数P=A*Eⁿ²⁺¹*C^n-1*2ⁿ 3.9.4.5. 奇阶魔方图案数计算 n>=1 阶数=2n+1 3.9.4.5.1. 全色魔方 无色向簇的总数=n²-1 有色向簇的总数=3 图案数P=H*M*A* C^n2-1*2ⁿ 3.9.4.5.2. 纯色魔方 任一无色向心块簇全组合数E=24!/(2*12⁶), 此计算排除纯色导致相同簇状态 无色向棱块簇的总数=n-1 无色向心块簇的总数= n²-n 有色向簇的总数=3,由于纯色导致中心块簇被排除 图案数P=M*A*E^n2-n*C^n-1*2ⁿ 3.9.5. 相关说明 纯色魔方图案计算是在全色魔方计算的基础上, 从簇中剔除重复的簇状态后的计算结果. 3.9.6. 纯色分析 3.9.6.1. 簇内二义问题 纯色魔方除边棱块簇,中棱块簇,边角块簇外,每个簇都存在簇状态二义性，这些簇的块要么四四同色（心棱块簇、直棱块簇，心角块簇），或者着色不能反应自身状态变化,如中心块簇

3.9.6.2. 图案同构问题

同构图案:图样结构完全一致但组成颜色不一致的图案互称同构图案,这是非全色魔方特有的问题.同构图案的数量因图样结构不同而不同.如纯色复原魔方图案就没有同构图案,中心块独立转180的图案有六个同构图案.

某些计算组合数的方法要减去同构数,由于非全色魔方图案与魔方状态不对应,计算同异图案的难度因着色不同而不同,一般很复杂,这里计算的纯色魔方组合数未消同构.

3.9.6.3. 扰动缺失问题 导致扰动关系缺失，如三阶的扰动关系丢失中心块扰动，但扰动关系总数不变

3.9.7. 计算举例

以下是全色魔方图案数计算:

二阶组合数= 88179840 三阶组合数= 8.85801*10²² 四阶组合数= 1.69727*10⁵⁵ 五阶组合数= 5.28924*10⁹³ 六阶组合数= 3.144*10¹⁴⁹ 七阶组合数= 3.0395*10²¹¹

以下是纯色魔方图案数计算:

二阶组合数= 88179840 三阶组合数= 4.3252*10¹⁹ 四阶组合数= 5.68412*10⁴⁸ 五阶组合数= 2.8966*10⁷⁷ 六阶组合数= 1.3245*10¹¹⁷ 七阶组合数= 2.0939*10¹⁶⁹

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3.10. 组装错误分析 3.10.1. 错误描述 对随意组装的魔方进行复原操作,有可能无法复原,错误有以下表现: 1. 存在无法转换成基态簇的扰动簇 2. 中棱块簇及边角块簇的色向无法全部复原到基态色向 3.上面二种错误的混合 3.10.2. 错误表现 3.10.2.1. 色向错误 1. 中棱块簇色向错误:有唯一一个中棱块的色向反转了 2. 边角块簇色向错误:有唯一一个边角块的色向逆转了或顺转了 3.10.2.2. 扰动错误 魔方上存在扰动簇,扰动簇无法用扰动关系变换消除 3.10.3. 错误转换 组装错误在簇内变换及簇间变换支配下将发生转换: 3.10.3.1. 色向错误 中棱块簇,边角块簇的色向错误,只能从内部的一个块上转移到内部的另一个块上 3.10.3.2. 扰动错误 扰动简化: 在魔方扰动关系的支配下,多个扰动簇可能转化为更少的扰动簇. 等价转换: 在魔方扰动关系的支配下,一个或多个扰动簇可能转换为同等数量的其它扰动簇 3.10.4. 错误定义 用以下条件过滤扰动簇全组合后,余下的是合法,最简,最少的扰动错误 1. 排除满足扰动关系的扰动簇组合 2. 排除能被扰动简化的扰动簇组合 3. 所有可等价转换的扰动簇组合只保留一个 注:扰动簇全组合是指魔方上所有簇对应的扰动簇的全组合 3.10.5. 错误形式

1. 单纯扰动错误

2. 单纯色向错误

3. 单纯色向错误的组合

4. 任一种扰动错误与色向错误的组合

3.10.6. 错误计算 5. 所有组装错误数=扰动错误数+单一色向错误数+色向错误组合数+扰动错误数*(单一色向错误数+色向错误组合数) 3.10.7. 分析举例 3.10.7.1. 三阶问题 由色向变换原理可知: 中棱块色向错误只有一种 边角块色向错误只有二种,并且二种错误互斥 三阶扰动关系: St=H+M+A 错误经由扰动关系变换可得以下错误简化转移： H+M->A #中心块位错误与中棱块位错误转为单一边角块位错误 H+A->M #中心块位错误与边角块位错误转为单一中棱块位错误 M+A->H #中棱块位错误与边角块位错误转为单一中心块位错误 H+M+A->0 #三种块的块位错误互消为零 由上可知，三阶任意块位错误，都可以转为三种单一扰动错误之一. 扰动错误数=3 单一色向错误数=3 色向错误组合数=2 所有组装错误数=3+3+2+3*(3+2)=23 #全色魔方错误数 三阶纯色魔方排除中心块位错误，则余下的二种扰动错误可经由扰动变换转为同一种扰动错误： 所有组装错误=1+3+2+1*(3+2)=11 #纯色魔方错误数 3.10.7.2. 四阶问题 此处假设四阶魔方的无色向簇的块只可能位置装错,不可能方向装错,当前的四阶结构也满足这个前提. 由色向变换原理可知: 边角块色向错误只有二种,并且二种错误互斥 四阶扰动关系如下: L1=B1 St=C1+A L1+St= C1+B1+A 错误经由扰动关系变换可得以下错误简化转移： B1->0 #边棱块永不可能装错位置 C1->A #心角块位错误转为单一边角块位错误 C1+A->0 #心角块位错误与边角块位错误互消为零 A->C1 #边角块位错误转为单一心角块位错误 C1+B1+A->0 #三种块位错误互消为零 由上可知，四阶任意扰动错误，都可以转为一种扰动错误. 扰动错误数=1 单一色向错误数=2 色向错误组合数=0 所有组装错误数=1+2+1*(2+0)=5 #全色魔方错误数 四阶纯色魔方排除心角块位错误，依据四阶扰动变换规则，四阶绝色不存在扰动错误 所有组装错误=0+2+0*(2+0)=2 #纯色魔方错误数 3.10.7.3. 五阶问题 此处假设五阶魔方的无色向簇的块只可能位置装错,不可能方向装错,当前五阶结构也满足这个前提. 由色向变换原理可知: 中棱块色向错误只有一种 边角块色向错误只有二种,并且二种错误互斥 五阶扰动关系如下: L1= F1+B1 St= C1+F1+H+M+A L1+St= C1+B1+H+M+A 错误经由扰动关系变换后由于组合关系量大,在此仅给出结论,有兴趣的读者可以自已参照四阶讨论计算结果,在此只给出结论. 扰动错误数=20 单一色向错误数=3 色向错误组合数=2 所有组装错误数=20+3+2+20*(3+2)=125 #全色魔方错误数 五阶纯色魔方直棱块簇，心角块簇，边棱块簇，中心块簇不存在扰动错误，依据五阶扰动变换规则，五阶纯色只有一种扰动错误。 所有组装错误=1+3+2+1*(3+2)=11 #纯色魔方错误数

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3.11. 公式循环计算 3.11.1. 变换定义 对一个步长为N的公式,从特定方位作用于魔方,这个公式在同一方位重复一定次数后,魔方又回到初始的状态,这就是循环变换. 3.11.2. 变换问题 显而易见,任何一个公式重复一定次数后,魔方状态都可以回到初态,一些公式重复几次后就循环了,一些公式可能重复很大的次数,都没有循环,因此玩家一般关心以下问题: 1. 一个特定公式要重复多少次,受影响的所有块才能回到初态 2. 有没有一个方法能够计算出循环次数,而不用手工去试 答案是肯定,下面将对这个问题进行分析,并给出答案 3.11.3. 变换分析 3.11.3.1. 公式影响 为了简化讨论,我们从一个复原的魔方开始讨论,特定步长的公式第一次作用于复原的魔方后,魔方的状态可能有以下变化: * 生成了一些环,这些环可能大小(指环包含的块数)不等 *一些中心块转了90度,或180度. * 一些中棱块在原位改变了色向 *一些边角块在原位改变了色向 3.11.3.2. 状态变化 3.11.3.2.1. 环 * 对于无向色块组成的环,环的循环周期为环的块数 * 对于中棱块环,如果环内块的色向和为零,则环的循环周期为环的块数,否则为环的块数乖色向参数2 * 对于边角块环, 如果环内块的色向和为零,则环的循环周期为环的块数,否则为环的块数乖色向参数3 3.11.3.2.2. 色向参数 边角块环的每一个块的色向始于基态,如果每个块经历环内每个位置时,色向改变之和与基态色向相同,则块的变换周期与块数相同,如果色向改变之和与基态色向不同,只有二种种情况,块顺转或逆转了一次,由边角块色向性质可知,环中所有块要经历三个周期才能回到基态色向,这就是边角块环色向参数3的由来,同理,边棱块环的色向参数2的确定原理与边角块环相同. 确定色向参数最简单的方法就是第一次使用公式后,将环中块的色向相加,如果为零,色向参数是1,不为零则是3(边角块环),或2(中棱块环). 3.11.3.2.3. 中心块 1. 如果中心块第一次转了90度,则该中心块循环周期为4 2. 如果中心块第一次转了180度,则该中心块循环为2 3.11.3.2.4. 在原位的边角块 显然在原位受影响的边角块色向循环周期是3 3.11.3.2.5. 在原位的中棱块 显然在原位受影响的中棱块色向循环周期是2 3.11.4. 循环计算 第一次在复原魔方上使用公式后,完成以下操作: 1. 找出所有的环,确定每个环的周期 2. 找出所有受影响的中心块,周期可能是2或4 3. 找出所有在原位受影响的中棱块色向/边角块色向,周期分别是2与3 4. 不论块或环的性质,周期相同的只取一个周期用于计算 5. 周期公倍数=块或环的周期的最小公倍数 6. 公式循环次数=周期公倍数 7. 公式执行步数=公式循环数*公式步长,这里取90度转动为一个基本步长 3.11.5. 变换举列 3.11.5.1. 举例一 公式:上面顺转90度,前面顺转90度,步长n=2 上面公式作用于三阶复原魔方一次后产生以下结果: 1. 生成一个含7个中棱块的环,环的色向和为零,所以环的周期为:7 2. 生成一个含5个边角块的环,环的色向和不为零,所以环的周期:为3*5 3. 一个角块色向原位顺转,周期为3 4. 二个中心块顺转动90,周期为4 周期公倍数=7*15*4=420 #显然420能被所有周期整除 公式循环次数=420 公式执行步数=公式步长*420=2*420=840 对纯色魔方,忽略中心块周期: 周期公倍数=7*15=105 公式循环次数=105 公式执行步数=公式步长*105=2*105=210 可以验证上面的计算完全正确 3.11.5.2. 举例二 公式:前面,右面,后面,左面四个面依序顺转90度,步长n=4 上面公式作用于三阶复原魔方一次后产生以下结果: 1. 五个边角块原地改变色向,周期为3 2. 生成含3个边角块的环,环的色向和不为零,所以环的周期:为3*3 3. 生成含5个中棱块的环,环的色向和为零,所以环的周期为:5 4. 生成含7个中棱块的环,环的色向和为零,所以环的周期为:7 5. 四个中心块顺转动90,周期为4 周期公倍数=9*5*7*4=1260, #显然1260能被所有周期整除 公式循环次数=1260 公式执行步数=公式步长*1260=5040 对纯色魔方,忽略中心块周期: 周期公倍数=7*5*3=315 公式循环次数=315 公式执行步数=公式步长*315=4*315=1260 可以验证上面的计算完全正确 3.11.5.3. 举例三 公式:上面,下面,左面,右面,前面,后面六个面依序顺转90度,步长n=6 上面公式作用于三阶复原魔方一次后产生以下结果: 1. 四个边棱块原位改变色向,周期为2 2. 生成含2个边角块的环四个,四个环的色向和为零,所以环的周期:2 3. 生成含2个中棱块的环四个,四个环的色向和不为零,所以环的周期为:2*2 4. 六个中心块顺转动90,周期为4 周期公倍数=4, #显然4能被所有周期整除 公式循环次数=4 公式执行步数=4*6=24 显然纯色魔方与全色魔方循环数相同 可以验证上面的计算完全正确 3.11.6. 引深推论 * 完全基于N阶定律 * 适用于N阶魔方所有公式 * 主要适用于电脑编程处理,因为高阶魔方状态分析不是一件易事 * 计算的结果,显然是相关公式的最短循环次数 *计算思路可作为最远状态分析的引子

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3.12. 复原算法分析 3.12.1. 穷举复原法 3.12.1.1. 初始设定 起始图案:特定的任意非复原图案,称为A 目标图案:复原图案,称为B 3.12.1.2. 操作目标 找出A到B的最短复原步数 3.12.1.3. 复原方法 假定A能在N步内复原 偿试N步在另一个B图案魔方六个面的不同分配方式 如果N步的一个分配方式再现了A,则此分配方式的逆序就是A图的复原步骤，再用N-1步递归调用第二步，直至找到最小分配方式 如果N步的所有分配方式不能再现B，则用N+1步递归调用第二步，直至找到再现B的分配方式 这也是当前唯一可行的最优算法 3.12.1.4. 算法优点 算法结构简单，保证找出最短步数 3.12.1.5. 算法缺点 耗时长，技术含量最低 对四阶以上高阶魔方来说，无疑是挑战宇宙年龄 3.12.2. 顺序复原法 3.12.2.1. 初始设定 起始图案:特定的任意非复原图案,称为A 目标图案:复原图案,称为B 3.12.2.2. 操作目标 找出A到B的转换步骤 3.12.2.3. 复原方法 将魔方每层块进行排序,逐层逐块对魔方块进行块归位,这种算法要求编排每个块可能状态对应的公式序列,依据块的当前状态选择合适的公式实施块复位,最后将所有块复位的公式按顺拼接在一起就是一个特定图案的复原步骤 3.12.2.4. 算法优点 算法构造容易，组织结构非常清淅 特适合初学编程新手及教学之用,本人十六年前做的第一个成功三阶复算法就是这种方法 公式数据可手工采集组织,可随时更新 3.12.2.5. 算法缺点 公式数据采集量大,校对工作量大,需要一定的检索公式的技巧 一个公式对应块的一个状态,对三阶而言,复位第一个边角块需要求23组对应工式,复位第二个边角块需要20组对应个公式,复位第七个边角块须要2组公式,中棱块情况大至相同. 对四阶以上高阶魔方最上层边棱块错误(有一个边的所有边棱块二二互换了位置)的处理,要对最上层以下的所有n-1个内层实施90度转动,然后再对这n-1个内层逐块重复实施非扰动归位(即归位方法不再适成新的边棱块二二互换),最后才对最上层实施逐块归位 显然,这种方法到最上层才会发现边棱块错误,处理完边棱块错误后,又重复处理n-1个内层块的复位问题,且处理量不小. 对高阶魔方，手工编制公式数据不现实 极不适合步法优化. 3.12.2.6. 附带特性 用块对应的公式组进行组合，可算出魔方的所有组合状态 在复原过程中即可判断出魔方的组装错误及错误类型 3.12.3. 定律复原法 3.12.3.1. 初始设定 起始图案:特定的任意非复原图案,称为A 目标图案:复原图案,称为B 3.12.3.2. 操作目标 找出A到B的实现步骤 3.12.3.3. 复原方法 从簇间关系的角度,找出A图案当前存在的非零态扰动关系并将其消解为零态扰动关系 仅用簇内变换规则对各块实施复位 3.12.3.4. 算法优点 概念清淅 没有混沌的感觉,没有重复 构造算法容易 特别适合电脑处理 公式极少 特别适合高阶魔方还原 3.12.3.5. 算法缺点 对N阶定律要有非常透彻的理解 特别不适合手工玩家复原，玩家应有鹰一样的视觉,内存条记忆的准确性 可优化性差 3.12.4. 经验复原法 3.12.4.1. 初始设定 起始图案:特定的任意非复原图案,称为A 目标图案:复原图案,称为B 3.12.4.2. 操作目标 找出A到B的复原步数 3.12.4.3. 复原方法 通过对魔方当前状态的判断，应用已熟记的大量经验公式，对魔方实施复原 3.12.4.4. 算法优点 速度快，平均优化效果相对较好 是一种折中性能最好的方法 3.12.4.5. 算法缺点 算法设计不易，结构复杂，组织性差 手工操作，玩家需要记住大量经验公式，对玩家的记性与反应有极高的要求 严重依赖个人经验 不适合四阶以上高阶魔方求解处理

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pengw

基于N阶定律的广义公式循环原理

        忍冬  

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1. 知识准备
对N阶定律及其约束的状态有透彻理解
2. 变换定义
对一个步长为N的公式,从特定方位作用于魔方,这个公式在同一方位重复一定次数后,魔方又回到初始的状态,这就是公式循环.
3. 变换问题
显而易见,任何一个公式重复一定次数后,魔方状态都可以回到初态,一些公式重复几次后就循环了,一些公式可能重复很大的次数,都没有循环,因此玩家一般关心以下问题:
*一个特定公式要重复多少次,受影响的所有块才能回到初态
*有没有一个方法能够计算出循环次数,而不用手工去试
答案是肯定,下面将对这个问题进行分析,并给出答案
4. 变换分析
4.1. 公式分析
4.1.1. 循环本质
公式每循环一次,都对魔方上特定位置的块造成相同的影响,使的一些块相互换位,一些块改变色向或二者兼有.这些现象正是我们基于状态计算公式循环周期的依据.
4.1.2. 公式无关
一个公式执行结果产生一个状态,同一状态可由不同公式产生.因此,基于状态分析计算的公式循环周期是适用于产生同一状态的所有公式.所以,我们可以丢开公式的具体形式从纯状态的角度计算公式循环周期.
由于存在这样的公式,在公式未执行完时状态就重复了,因此,公式循环周期内可能出现多次初始状态重复.
4.1.3. 状态影响
为了简化讨论,我们从一个复原的魔方开始讨论,特定步长的公式第一次作用于复原的魔方后,魔方的状态可能有以下变化:
*生成了一些环,这些环可能大小(指环包含的块数)不等,环的色向和可能是零或不为零.
*一些中心块转了90度,或180度.
*一些中棱块在原位改变了色向
*一些边角块在原位改变了色向

4.1.4 特殊循环

如果一个公式在复原魔方上执行完一次后,魔方仍然是复原状态,这种公式循环周期定义为1,本文在此只讨论周期大于1的公式循环.
4.2. 状态变化
4.2.1. 环
*对于无向色块组成的环,环的循环周期为环的块数
*对于中棱块环,如果环内块的色向和为零,则环的循环周期为环的块数,否则为环的块数乖色向参数2
*对于边角块环, 如果环内块的色向和为零,则环的循环周期为环的块数,否则为环的块数乖色向参数3
4.2.2. 色向参数
边角块环的每一个块的色向始于基态,如果每个块经历环内每个位置时,色向改变之和与基态色向相同,则块的变换周期与块数相同,如果色向改变之和与基态色向不同,只有二种种情况,块顺转或逆转了一次,由边角块色向性质可知,环中所有块要经历三个周期才能回到基态色向,这就是边角块环色向参数3的由来,同理,边棱块环的色向参数2的确定原理与边角块环相同.
确定色向参数最简单的方法就是第一次使用公式后,将环中块的色向相加,如果为零,色向参数是1,不为零则是3(边角块环),或2(中棱块环).
4.2.3. 中心块
*如果中心块第一次转了90度,则该中心块循环周期为4
*如果中心块第一次转了180度,则该中心块循环为2
4.2.4. 在原位的边角块
显然在原位受影响的边角块色向循环周期是3
4.2.5. 在原位的中棱块
显然在原位受影响的中棱块色向循环周期是2
5. 块周期
对任意状态,每个块有特定的循环周期,称为块周期,块周期因以下因素而不同:
*在环内的块,由环的块数,环的色向和,块的类别决定块的周期,块周期就是环的循环周期
*在环外的块,仅由块的类别决定块的周期,即由块的色向状态数决定
*中心块周期显然是4或2.
*对无色向块,在环外,无块周期;在环内,块周期是环的块数
*基态块无块周期,不参与计算.
总体上看,公式循环周期的本质是所有块周期的最小公倍数.
6. 循环计算
第一次在复原魔方上使用公式后,完成以下操作:
*找出所有的环,确定每个环的周期
*找出所有受影响的中心块,周期可能是2或4
*找出所有在原位受影响的中棱块色向/边角块色向,周期分别是2与3
*公式循环周期=块周期的最小公倍数
*公式执行步数=公式循环周期*公式步长,这里取90度转动为一个基本步长

7. 变换举例
7.1. 举例一
公式:上面顺转90度,前面顺转90度,步长n=2
上面公式作用于三阶复原魔方一次后产生以下结果:
*生成一个含7个中棱块的环,环的色向和为零,所以环的周期为:7
*生成一个含5个边角块的环,环的色向和不为零,所以环的周期:为3*5
*一个角块色向原位顺转,周期为3
*二个中心块顺转动90,周期为4
最小周期公倍数=7*15*4=420  #显然420能被所有周期整除
公式循环周期=420
公式执行步数=公式步长*420=2*420=840
对纯色魔方,忽略中心块周期:
最小周期公倍数=7*15=105
公式循环周期=105
公式执行步数=公式步长*105=2*105=210
可以验证上面的计算完全正确
7.2. 举例二
公式:前面,右面,后面,左面四个面依序顺转90度,步长n=4
上面公式作用于三阶复原魔方一次后产生以下结果:
*五个边角块原地改变色向,周期为3
*生成含3个边角块的环,环的色向和不为零,所以环的周期:为3*3
*生成含5个中棱块的环,环的色向和为零,所以环的周期为:5
*生成含7个中棱块的环,环的色向和为零,所以环的周期为:7
*四个中心块顺转动90,周期为4
最小周期公倍数=9*5*7*4=1260, #显然1260能被所有周期整除
公式循环周期=1260
公式执行步数=公式步长*1260=5040
对纯色魔方,忽略中心块周期:
最小周期公倍数=7*5*3=315
公式循环周期=315
公式执行步数=公式步长*315=4*315=1260
可以验证上面的计算完全正确
7.3. 举例三
公式:上面,下面,左面,右面,前面,后面六个面依序顺转90度,步长n=6
上面公式作用于三阶复原魔方一次后产生以下结果:
*四个边棱块原位改变色向,周期为2
*生成含2个边角块的环四个,四个环的色向和为零,所以环的周期:2
*生成含2个中棱块的环四个,四个环的色向和分别不为零,所以环的周期为:2*2
4. 六个中心块顺转动90,周期为4
最小周期公倍数=4, #显然4能被所有周期整除
公式循环周期=4
公式执行步数=4*6=24
显然纯色魔方与全色魔方循环数相同
可以验证上面的计算完全正确
8. 引深推论
*完全基于N阶定律
*适用于N阶魔方所有公式
*主要适用于电脑编程处理,因为高阶魔方状态分析不是一件易事
*计算的结果,显然是相关公式的最短循环次数
*计算思路可作为最远状态分析的引子
9. 作者说明
当前一些基于群论的"循环变换理论"无力描述公式循环原理,无力计算公式循环周期,除了一些不着边际的虚幻描述外,甚至计算不出任何有实用价值的结论,这种理论存在的合法性令人质疑.

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忍冬

完成于拉萨市

2005年4月15日

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pengw

基于N阶定律的公式循环周期极限计算

                 忍冬

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由公式环循原理可知,任意状态都具备固有的公式循环周期,无论造就这个状态的公式形式如何.问题是,什么样的状态具有最大的公式循环周期?最大公式循环周期是否会随着魔方阶数增大而无限增大?以下将讨论这个问题.
1. 知识准备
* 对N阶定律及其约束的魔方状态有透彻的理解
* 对基于N阶定律的广义公式环循原理有透彻的理解
2. 周期分析
由魔方结构定义及N阶定律可知:
二阶块周期集合:{2,3,4,5,6,7,8, 9,12,15,18,21}
三阶块周期集合:{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,15,16,18,20,21,22}
四阶块周期集合:{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24}
显然,四阶以上所有阶魔方的块周期集合与四阶魔方块周期集合相同
3. 计算方法
*计算出魔方块周期集合的最小公倍数,是一些素数的积,素数2在二阶允许重复3次,在三阶及三阶以上允许重复4次;素数3允许重复2次,其它素数不重复,将这些素数做成一个素数表
*在满足N阶定律对状态约束的前提下,找出素数表中最大的素数积,这就是魔方最大的公式循环周期


4. 表达约定
用簇名与括号中的数字列表,表达一个簇所含的块周期,举例如下:
A(9,15):边角块簇有二个块周期,分别是9和15
M(14,8): 中棱块簇有二个块周期,分别是14和8
H(4,4): 中心块簇有二个块周期,分别是4和4
簇名详见"N阶定律-魔方约定"章节
5. 计算举例
5.1. 二阶魔方
5.1.1. 周期集合
二阶块周期集合:{2,3,4,5,6,7,8, 9,12,15,18,21}
周期集合的是小公倍数:2^3*3^2*5*7
5.1.2. 扰动关系
Φ
St=A
以上扰动关系,说明二阶偶环可以独立生成
5.1.3. 周期集合
显然周期A{9,15}满足要求
最大公式循环周期=9*5=45
5.1.4. 状态描述
* 分别有一个含有3个块及5个块的边角块环,二个环的色向和均不为零
凡满足以上条件的魔方图案,其公式循环周期均为45
5.2. 三阶魔方
5.2.1. 周期集合
三阶块周期集合: {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,15,16,18,20,21,22}
周期集合的是小公倍数:2^4*3^2*5*7*11
5.2.2. 扰动关系
Φ
St=H+M+A
将以上二种扰动关系,分别称为扰动关系A和扰动关系B
5.2.3. 扰动关系A
在扰动关系A下,偶环只能成对出现,奇环独立出现
显然周期M(22),A(9,15),H(4,4)满足要求
最大公式循环周期=11*9*5*4=1980
5.2.4. 扰动关系B
在扰动关系B下,所有簇的偶环只能成奇数个出现,且所有簇必有一个偶环,奇环独立出现
显然周期M(14,8),A(6,15),H(4,4)满足要求.
最大公式循环周期=3*5*7*8=840
5.2.5. 计算结果
显然,扰动关系A下,有最大公式循环周期: 1980
5.2.6. 状态描述
* 有一个含有11个块的中棱块环,环的色向和不为零
* 分别有一个含有3个块及5个块的边角块环,环的色向和都不为零
* 有不小于2的偶数个中心块转了90度
凡满足以上三点的魔方图案,其公式循环周期均为1980
5.3. 四阶魔方
5.3.1. 周期集合
四阶块周期集合: {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24}
周期集合的是小公倍数:2^4*3^2*5*7*11*13*17*19*23
5.3.2. 扰动关系
Φ
L1= B1
St= C1+A
L1+St= C1+B1+A
将以上四种扰动关系,分别称为扰动关系A,B,C,D
5.3.3. 据动关系A
在扰动关系A下,所有簇的偶环只能成对出现,奇环独立出现
显然周期A(9,15),C1(7,17),B1(11,13)满足要求.
最大公式循环周期=3^2*5*7*11*13*17=765765
5.3.4. 扰动关系B
在扰动关系B下,B1簇的偶环只能成奇数个出现,且必有一个偶环,奇环独立出现;A簇与C1簇的偶环只能成对出现,奇环独立出现
显然周期A(9,15),B1(7,16),C1(11,13)满足要求.
最大公式循环周期=2^4*3^2*5*7*11*13=720720
5.3.5. 扰动关系C
在扰动关系C下, A簇与C1簇的偶环只能成奇数个出现,且必有一个偶环,奇环独立出现;B1簇的偶环只能成对出现,奇环独立出现
显然周期A(6,9),C1(5,7,8),B1(11,13)满足要求.
最大公式循环周期=2^3*3^2*5*7*11*13=360360
5.3.6. 扰动关系D
在扰动关系D下, A簇,B1簇,C1簇的偶环只能成奇数个出现,且必有一个偶环,奇环独立出现
显然周期A(6,9), C1(13,7,4),B1(11,5,8)满足要求.
最大公式循环周期=2^3*3^2*5*7*11*13=360360
5.3.7. 计算结果
显然,扰动关系A下,有最大公式循环周期: 765765
5.4. 五阶魔方
5.4.1. 周期集合
五阶块周期集合: {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24}
周期集合的是小公倍数:2^4*3^2*5*7*11*13*17*19*23
5.4.2. 扰动关系
Φ
L1= F1+B1
St= C1+F1+H+M+A
L1+St= C1+B1+H+M+A
将以上四种扰动关系,分别称为扰动关系A,B,C,D
5.4.3. 扰动关系A
在扰动关系A下,所有簇的偶环只能成对出现,奇环独立出现
显然周期A(9,15),M(11),C1(13,8,2),B1(7,17),F1(23)满足要求.
最大公式循环周期=2^3*3^2*5*7*11*13*17*23= 140900760
5.4.4. 扰动关系B
F1簇,B1簇的偶环只能成奇数个出现,且必有一个偶环,奇环独立出现;其它簇的偶环只能成对出现,奇环独立出现
显然周期A(9,15),M(11),C1(7,17),F1(13,8),B1(19,2)满足要求.
最大公式循环周期=2^3*3^2*5*7*11*13*17*19= 116396280
5.4.5. 扰动关系C
C1,F1,M,A四个簇的偶环只能成奇数个出现,且必有一个偶环,奇环独立出现;B1簇的偶环只能成对出现,奇环独立出现
显然周期A(6,9),M(7,2),C1(11,5,8),F1(19,2),B1(23)满足要求.
最大公式循环周期=2^3*3^2*5*7*11*19*23= 12113640
5.4.6. 扰动关系D
C1,B1,M,A四簇的偶环只能成奇数个出现,且每簇必有一个偶环,奇环独立出现;F1簇的偶环只能成对出现,奇环独立出现

显然周期A(6,9),M(7,2),C1(11,5,8),B1(17,2),F1(23)满足要求.
最大公式循环周期=2^3*3^2*5*7*11*19*23= 12113640
5.4.7. 计算结果
显然,扰动关系A下,有最大公式循环周期: 140900760
5.5. 六阶魔方
5.5.1. 周期集合
六阶块周期集合: {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24}
周期集合的是小公倍数:2^4*3^2*5*7*11*13*17*19*23
5.5.2. 扰动关系
Φ
L1= E11+E12+B1
L2= E11+E12+B2
St= E11+E12+C1+C2+A
L1+L2= B1+B2
L1+St= C1+C2+B1+A
L2+St= C1+C2+B2+A
L1+L2+St= E11+E12+C1+C2+B1+B2+A
将以上7种扰动关系,分别称为扰动关系A,B,C,D,E,F,G
5.5.3. 扰动关系A
在扰动关系A下,所有簇的偶环只能成对出现,奇环独立出现
显然周期A(9,15),E11(11),E12(13),C1(7,17),C2(16,8),B1(19),B2(23)满足要求.
最大公式循环周期=2^4*3^2*5*7*11*13*17*19*23= 5354228880
5.5.4. 计算结果
显然计算结果是"终极循环"章节讨论的公式循环周期极限,其它扰动关系已无讨论的必要.
由此可见,六阶及六阶以上魔方的最大公式循环周期完全相同,即: 5354228880
6. 终极循环
由N阶定律可知，对所有阶魔方，块所有可能的周期的集合:{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24}
以上周期的最小公倍数= 2^4*3^2*5*7*11*13*17*19*23=32*9*5*7*11*13*17*19*23= 5354228880
计算表明，任意阶魔方的最大公式循环周期小于或等于5354228880
这个计算结果显示不是通常猜想的会随阶数增大而无限增大,显然有点出人预料
7. 引深猜想
"1980"即是三阶魔方面世的年份,又是其自身最大的公式循环周期,意味着什么神喻?不敢奢谈上帝的精神,谁想躺在轮椅上四肢无助地研究魔方!

8.作者说明

当前一些基于群论的"循环变换理论"无力描述公式循环原理,无力计算公式环循周期,无力计算任意阶魔方最大公式循环周期,无力预言魔方公式循环周期上限,除了一些不着这际的虚幻描述外,甚至计算不出任何有实用价值的结论,这种理论存在的合法性令人质疑.

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忍冬

2005年5月2日

[此贴子已经被作者于2006-12-29 21:39:02编辑过]

pengw

[原创]基于N阶定律的魔方状态组合数计算公式:第三版

忍冬

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计算魔方状态数向来是一个经典魔方问题,也是检验魔方理论正确与否的一个关键因素.数学意义下的魔方状态与魔方着色没有任何关系,魔方状态数与花色数可能相同也可能不同,视着色方法而定.花色数少于或等于魔方状态数,因此这里首先讨论状态数计算,再引深到纯色魔方花色计算.本文在此给出任意阶魔方状态数计算的一般性方法和计算公式.

1.知识准备

掌握N阶定律,对普通排列组合知识有所了解

2.对象声明

除特别声明外,缺省以全色N阶正方体色子阵魔方为讨论对象,全色魔方定义参见第5章"魔方约定"

3.计算依据

扰动关系代表了基态簇与扰动簇的组合关系,扰动关系数代表基态簇与扰动簇的所有可能的组合.

依据簇内变换原则,任意基态簇和与之对应的扰动簇不存在相同的簇状态,并且彼此的簇状态数相同

保持不同扰动关系的魔方之间不存在相同的图案,并且彼此间有相同的图案数

4.计算方法

从簇内变换的角度,计算出每个簇的簇状态数

将所有簇的簇状态数相乘

将第2条的计算结果乘以扰动关系数.如果是偶阶魔方,计算结果要除24,以消除同态图案

5.公式推导

5.1全色魔方有色向簇的簇状态数计算

依据中心块簇内变换原则:

中心块簇状态数:H=4*4*4*4*4*2

依据簇内通用三交换及色向变换原则:

中棱块簇状态数:M=24*22*20*18*16*14*12*10*8*6*2

边角块簇状态数:A=24*21*18*15*12*9*3

5.2全色魔方无色向簇的簇状态数计算

用C代表任意无色向簇,由正立方体魔方结构定义及簇内三交换原则可知,任意无色向簇状态数:C=24!/2

5.3纯色因子

对纯色魔方而言,无色向心块簇的每个簇状态,共有六组四四同色的元素,依据簇内三交换原则,每个簇状态共有24*24*24*24*24*12种相同状态,设W为纯色因子

w=24*24*24*24*24*12=95551488

5.4纯色魔方无色向心块簇状态数计算

设纯色魔方无色向心块簇的簇状态数为E

E=24!/(2*W)= 24!/(2*95551488)

5.5纯色魔方无色向棱块簇状态数计算

对纯色魔方而言,无色向棱块簇的每个簇状态,共有12组二二同花色的边棱块,依据簇内三交换原则,纯色魔方与全色魔方的无色向棱块簇的状态数相同,即24!/2

5.6扰动关系计算

用R代表扰动关系数,由扰动关系计算可知:

n>=1

R=2ⁿ

纯色魔方扰动关系与全色魔方扰动关系数相同,但是,除扰动关系Φ外,所有其它扰动关都有扰动簇丢失,这种情况对计算无影响,计算只关心扰动关系数.

5.7偶阶魔方图案数计算

5.7.1阶数定义

n>=1

阶数=2n

5.7.2同态分析

偶阶魔方的层转动,可产生与魔方整体转动相同的效果,因此,偶阶魔方的一个状态有24个同构状态,因此,偶阶魔方状态数的计算结果要除以24.

5.7.3全色魔方

无色向簇的总数=n²-n

有色向簇的总数=1

图案数P=A*C^n2-n*2ⁿ/24

5.7.4纯色魔方

任一无色向心块簇全组合数E=24!/(2*w),此计算排除相同簇状态

无色向棱块簇的总数=n-1

无色向心块簇的总数= n²-2n+1

有色向簇的总数=1

图案数P=A*E^n2-2n+1*C^n-1*2ⁿ/24

5.8奇阶魔方图案数计算

5.8.1阶数定义

n>=1

阶数=2n+1

5.8.2同态分析

由于中心块相对位置不变,不含中棱块的转层不能产生与魔方整体转动相同的效果,因此奇阶魔方状态无偶阶魔方的同态问题.

5.8.3全色魔方

无色向簇的总数=n²-1

有色向簇的总数=3

图案数P=H*M*A* C^n2-1*2ⁿ

5.8.4纯色魔方

任一无色向心块簇全组合数E=24!/(2*w), 此计算排除纯色导致相同簇状态

无色向棱块簇的总数=n-1

无色向心块簇的总数= n²-n

有色向簇的总数=3,由于纯色导致中心块簇被排除

图案数P=M*A*E^n2-n*C^n-1*2ⁿ

6.相关说明

纯色魔方图案计算是在全色魔方计算的基础上, 从簇中剔除重复的簇状态后的计算结果.

7.纯色分析

7.1簇内二义问题

纯色魔方除边棱块簇,中棱块簇,边角块簇外,每个簇都存在簇状态二义性，这些簇的块要么四四同色（心棱块簇、直棱块簇，心角块簇），或者着色不能反应自身状态变化,如中心块簇

7.2图案同构问题

同构图案:图样结构完全一致但组成颜色不一致的图案互称同构图案,这是非全色魔方特有的问题.同构图案的数量因图样结构不同而不同.如纯色复原魔方图案就没有同构图案,中心块独立转180的图案有六个同构图案.

某些计算组合数的方法要减去同构数,由于非全色魔方图案与魔方状态不对应,计算同构图案的难度因着色不同而不同,一般很复杂,这里计算的纯色魔方组合数未消同构图案.

7.3扰动缺失问题

导致扰动关系缺失，如三阶的扰动关系丢失中心块扰动，但扰动关系总数不变

8.计算举例

以下是全色魔方图案数计算:

二阶组合数: 3674160

三阶组合数: 8.85801*10²²

四阶组合数: 7.07195*10⁵³

五阶组合数: 5.28924*10⁹³

六阶组合数: 1.31*10¹⁴⁸

七阶组合数: 3.0395*10²¹¹

以下是纯色魔方图案数计算:

二阶组合数: 3674160

三阶组合数: 4.3252*10¹⁹

四阶组合数: 7.4012*10⁴⁵

五阶组合数: 2.82871*10⁷⁴

六阶组合数: 1.5715*10¹¹⁶

七阶组合数: 1.9501*10¹⁶⁰

以上计算结果与国外官方网站发表的数据相互映证,从而证明计算所依据的理论-N阶魔方定律是正确的

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^忍冬

[此贴子已经被作者于2005-10-26 9:44:15编辑过]

pengw

[原创]基于N阶定律的组装状态分析:第二版

3.12. 组装错误分析

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3.12.0  前提条件

由于魔方生产组装工艺的千差万别，可能的组装错误难以预料，从严格意义上讲，组装错误分析相比于魔方变换分析而言，没有什么太多的意义，尤其是高阶魔方，组装错误分析基本是不可能的。

通过计算手工组装魔方的全排列状态数，然后以此除以可判断的最小非法状态数+1，由此可以计算出魔方的合法状态数，这是计算低阶魔方合法状态的一个简朴有效的方法，这也许是“组装错误分析”存在实用价值的一个理由，但是，在结构复杂的高阶魔方上，正确定义“合法”的手工组装是一件困难或不易确定的事，因此，从组装角度研究魔方状态，并不是令人愉快的选择。为了照顾有兴趣的魔友，特在此，更新这篇本拟删除的论文。

3.12.1. 错误描述

对随意组装(相对基态图案,不允许变更色标,中心块不能互换位置,无色向块不能装错方向,此限制的理由是显而易见的)的魔方进行复原操作,有可能无法复原,错误有以下表现:

1. 存在无法转换成基态簇的扰动簇

2. 中棱块簇及边角块簇的色向无法全部复原到基态色向

3.上面二种错误的混合

总之所谓组装错误就是相对选定的基态图案,魔方呈现的状态与N阶定律预言不符

3.12.2. 错误表现

3.12.2.1. 色向错误

1.) 中棱块簇色向和不为零

2.) 边角块簇色向和不为零

3.)中棱块簇色向和与与边角块簇色向和匀不为零

3.12.2.2. 扰动错误

魔方上存在扰动簇,扰动簇无法用扰动关系变换消除

3.12.3. 错误归约

组装错误在簇内变换及簇间变换支配下将发生转换:

3.12.3.1. 色向归约

中棱块簇色向错误最终转换为有唯一中棱块不能回到基态色向

边角块簇色向错误最终转换为有唯一边角块不能回到基态色向

3.12.3.2. 扰动归约

扰动简化: 在魔方扰动关系的转换下,扰动簇可以简化为数量最少的扰动簇;中心块扰动簇经由中心块色向变换后,现为有唯一个中心块转动了90度.其它扰动簇经簇内三换交转换后,现为仅有唯一一对块互换了位置.

等价转换: 在魔方扰动关系的支配下,一个或多个扰动簇的组合可能转换为同等大小的其它扰动簇组合

3.12.4. 错误定义

用以下条件过滤全体扰动簇所有组合后,余下的是最简,最少的扰动错误组合

1. 排除满足扰动关系的扰动簇组合

2. 排除能被简化到更小扰动簇组合的扰动簇组合

3.所有等相互等价的扰动簇组合只保留一个

3.12.5. 错误形式

1. )一种扰动错误

2.) 单一色向错误

3. )色向错误的组合

4. )一种扰动错误与色向错误的组合

3.12.6. 错误计算

5. 所有组装错误数=扰动错误数+单一色向错误数+色向错误组合数+扰动错误数*(单一色向错误数+色向错误组合数)

3.12.7. 分析举例

3.12.7.1. 三阶问题

由色向变换原理可知:

中棱块色向错误只有一种

边角块色向错误只有二种,并且二种错误互斥

三阶扰动关系:

St=H+M+A

单一扰动错误:

H

M

A

成对扰动错误：

H+M

H+A

A+M

成对扰动错误经由扰动关系St=H+M+A变换可得以下错误简化转移：

H+M+（H+M+A）= A     #中心块簇扰动错误与中棱块簇扰动错误转为单一边角块簇扰动错误

H+A+（H+M+A）=M      #中心块簇扰动错误与边角块簇扰动错误转为单一中棱块簇扰动错误

M+A+（H+M+A）=H  #中棱块簇扰动错误与边角块簇扰动错误转为单一中心块簇扰动错误

由上可知，三阶任意扰动错误，都可以转为三种单一扰动错误之一.

扰动错误数=3

单一色向错误数=3

色向错误组合数=2

所有组装错误数=3+3+2+3*(3+2)=23     #全色魔方组装错误数

三阶纯色魔方排除中心块扰动错误，则余下的二种扰动错误可经由扰动变换转为同一种扰动错误：

所有组装错误=1+3+2+1*(3+2)=11     #纯色魔方组装错误数

3.12.7.2. 四阶问题

此处假设四阶魔方的无色向簇的块只可能位置装错,不可能方向装错,当前的四阶结构也满足这个前提.

由色向变换原理可知:

边角块色向错误只有二种,并且二种错误互斥

四阶扰动关系如下:

L1=B1

St=C1+A

L1+St= C1+B1+A

单一扰动错误:

C1

A

转换：C1+(C1+A)=A

因此单一扰动错误经转换后只余1个

成对扰动错误:

B1+A

B1+C1

转换：B1+A+（B1）=A

转换：B1+C1+（B1）+（C1+A）=A

转换后成对扰动错误不存在

由上可知，四阶任意扰动错误，都可以转为一种扰动错误.

扰动错误数=1

单一色向错误数=2

色向错误组合数=0

所有组装错误数=1+2+1*(2+0)=5   #全色魔方错误数

四阶纯色魔方排除心角块扰动错误，依据四阶扰动变换规则，四阶绝色不存在扰动错误

所有组装错误=0+2+0*(2+0)=2    #纯色魔方错误数

3.12.7.3. 五阶问题

此处假设五阶魔方的无色向簇的块只可能位置装错,不可能方向装错,当前五阶结构也满足这个前提.

由色向变换原理可知:

中棱块色向错误只有一种

边角块色向错误只有二种,并且二种错误互斥

五阶扰动关系如下:

L1= F1+B1

St= C1+F1+H+M+A

L1+St= C1+B1+H+M+A

单一扰动错误：

C1，B1，H，M，A，F1 共6个

经由扰动方程L1=F1+B1转换：

F1+(F1+B1)=B1

单扰动错误数余下:5个

成对扰动错误：

6取2的组合 共15个

经由扰动方程L1=F1+B1换：

(F1+B1)+(F1+B1)=Φ

(F1+C1)+(F1+B1)=B1+C1

(F1+H)+(F1+B1)=B1+H

(F1+M)+(F1+B1)=B1+M

(F1+A)+(F1+B1)=B1+A

成对扰动错误余下:10

三个或三个以上扰动错误可由扰动方程简化为二个或一个扰动错误

扰动错误总数:15

单一色向错误数=3

色向错误组合数=2

所有组装错误数=15+3+2+15*(3+2)=95   #全色魔方错误数

五阶纯色魔方直棱块簇，心角块簇，边棱块簇，中心块簇不存在扰动错误，依据五阶扰动变换规则，五阶纯色所有扰动错误最终转换为单一边角块簇扰动错误。

所有组装错误=1+3+2+1*(3+2)=11       #纯色魔方错误数

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相关术语参见"N阶正立方体魔方变换定律"

忍冬

[此贴子已经被作者于2007-4-14 23:42:23编辑过]

pengw

基于N阶定律的魔方复原算法分析

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1 穷举复原法
1.1 初始设定
起始图案:特定的任意非复原图案,称为A
目标图案:复原图案,称为B
1.2 操作目标
找出A到B的最短复原步数
1.3 复原方法
* 假定A能在N步内复原
* 偿试N步在另一个B图案魔方六个面的不同分配方式
* 如果N步的一个分配方式再现了A,则此分配方式的逆序就是A图的复原步骤，再用N-1步递归调用第二步，直至找到最小分配方式
* 如果N步的所有分配方式不能再现B，则用N+1步递归调用第二步，直至找到再现B的分配方式
* 这也是当前唯一可行的最优算法
1.4 算法优点
算法结构简单，保证找出最短步数
1.5 算法缺点
耗时长，技术含量最低
对四阶以上高阶魔方来说，无疑是挑战宇宙年龄
2 顺序复原法
2.1 初始设定
起始图案:特定的任意非复原图案,称为A
目标图案:复原图案,称为B
2.2 操作目标
找出A到B的转换步骤
2.3 复原方法
将魔方每层块进行排序,逐层逐块对魔方块进行块归位,这种算法要求编排每个块可能状态对应的公式序列,依据块的当前状态选择合适的公式实施块复位,最后将所有块复位的公式按顺拼接在一起就是一个特定图案的复原步骤
2.4 算法优点
* 算法构造容易，组织结构非常清淅
* 特适合初学编程新手及教学之用,本人十六年前做的第一个成功三阶复算法就是这种方法
* 公式数据可手工采集组织,可随时更新
2.5 算法缺点
* 公式数据采集量大,校对工作量大,需要一定的检索公式的技巧
* 一个公式对应块的一个状态,对三阶而言,复位第一个边角块需要求23组对应工式,复位第二个边角块需要20组对应个公式,复位第七个边角块须要2组公式,中棱块情况大至相同.
* 对四阶以上高阶魔方最上层边棱块错误(有一个边的所有边棱块二二互换了位置)的处理,要对最上层以下的所有n-1个内层实施90度转动,然后再对这n-1个内层逐块重复实施非扰动归位(即归位方法不再适成新的边棱块二二互换),最后才对最上层实施逐块归位
* 显然,这种方法到最上层才会发现边棱块错误,处理完边棱块错误后,又重复处理n-1个内层块的复位问题,且处理量不小.
* 对高阶魔方，手工编制公式数据不现实
* 极不适合步法优化.
2.6 附带特性
* 用块对应的公式组进行组合，可算出魔方的所有组合状态
* 在复原过程中即可判断出魔方的组装错误及错误类型
3 定律复原法
3.1 初始设定
起始图案:特定的任意非复原图案,称为A
目标图案:复原图案,称为B
3.2 操作目标
找出A到B的实现步骤
3.3 复原方法
* 从簇间关系的角度,找出A图案当前存在的非零态扰动关系并将其消解为零态扰动关系
* 仅用簇内变换规则对各块实施复位
3.4 算法优点
* 概念清淅
* 没有混沌的感觉,没有重复
* 构造算法容易
* 特别适合电脑处理
* 公式极少
* 特别适合高阶魔方还原
3.5 算法缺点
1. 对N阶定律要有非常透彻的理解
2. 特别不适合手工玩家复原，玩家应有鹰一样的视觉,内存条记忆的准确性
3. 可优化性差
4 经验复原法
4.1 初始设定
起始图案:特定的任意非复原图案,称为A
目标图案:复原图案,称为B
4.2 操作目标
找出A到B的复原步数
4.3 复原方法
通过对魔方当前状态的判断，应用已熟记的大量经验公式，对魔方实施复原
4.4 算法优点
速度快，平均优化效果相对较好
是一种折中性能最好的方法
4.5 算法缺点
* 算法设计不易，结构复杂，组织性差
* 手工操作，玩家需要记住大量经验公式，对玩家的记性与反应有极高的要求
* 严重依赖个人经验
* 不适合四阶以上高阶魔方求解处理
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忍冬:完成于西藏拉萨,布达拉宫脚下

2005年月4月14日

[此贴子已经被作者于2006-12-29 21:40:31编辑过]

pengw

～～ 宇宙在旋转运动 ～～ 魔方在循环变换 ～～ 不知何处转来~~更不知转到何处去~~循环变换休也~~

开天以来就转的没完没了,悟空去世有三万年了!原指望霍金给个说法,他倒好,木仍伊似地流着口水数星星,谁来告诉我何时停下来?总不能无限乱转下去吧?那个傻子不是说宇宙有开端吗?为什么还在漫无目的地乱转?!难倒循环变换理论只对黑洞有效?受不了啊!!..那个傻子是一个乱说一气的数学家,害死我也...谁来帮帮我吧!我不想做黑洞循环的孤魂野鬼!有人吗!?...忍冬!!..你这个小学农民!别看笑话...行动行动吧!,该死的!!

[此贴子已经被作者于2005-5-12 13:18:45编辑过]