[原创]魔方循环变换理论概述 （待完善）

ggglgq

以下是引用ggglgq在2004-8-20 8:51:30的发言：

问题：某一魔方“傻瓜转法”旋转的最少步数为多少 ？ 现给出一个带有理想
色彩的猜想答案：魔方“傻瓜转法”旋转的最少步数就是它的所有的状态数。

比如：正六面体的三阶魔方有 4.325200 E+19 种不同状态的图案，猜想：它的
“傻瓜转法”旋转的最少步数为 4.325200 E+19 ；
又如：正十二面体的五魔方有 1.006696 E+68 种不同状态的图案，猜想：它的
“傻瓜转法”旋转的最少步数为 1.006696 E+68 ；

由这个奇特的 2×2 平面魔方的“广义循环变换” D R D+ D L- R 得知：
这个“广义循环变换” D R D+ D L- R 是 2×2 平面魔方的一个“傻瓜遍历”。

乌木

能不能不求什么多面体结构，只求“网络线”尽量清晰点。例如，我那“鸟巢”第1代置球的北极，第2代4点均布于北纬45°圈，第3代10个点均布于赤道，第4代8点于南纬45°，南极放末代1点。点与点之间有直系关系就连线，无则无，线一律浮于球面。同代点的布排应可调换，调到2－3和3－4代之间的那许多连线总体上合理、清晰、较均匀等（这里有主观因素）为止。图可以如世界地图般展开，也可做成动画：转动、透明、立体感。
noski的晶体结构般的图非常漂亮，用于找一个个四边形关系等尤佳。应还有许多奥妙之处，noski兄不妨一一道来。

noski

从我这个图中得到的一点结论:
1.这个图是一个哈密顿图,即从一点出发,能找到一条路径,遍历所有点,最后回到出发点.
2.从图中可知,任意两点间的最大距离是4,即任意两个状态的转换不会超过4步.比如:
|1 2| |4 3|
|3 4| 和 |2 1| 两点同态,但不整体旋转的话,要通过RLUD四步转换过去.
这个结论从乌木兄的世代图中能更好的看出来.

风吟雨笑

理论部分有点难.有没有理论入门基础.

ggglgq

　　
  

   大家可以参考“魔方循环理论”演示专贴，她也是一个很好的“循环变换”入门读物。　

   http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=935　
　　
　　
　　

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-8-25 10:00 编辑 ]

ggglgq

循环变换的迷雾——“无效变换”

1.有效变换、无效变换的定义：

以下是引用ggglgq在2004-6-24 7:57:21的发言：

十一、有效变换的定义

一、有效变换的定义:
1.步长为 1 的变换均为有效变换；
2.设变换 A = a1 a2 a3 ... a(n-1) 为有效变换，变换 a1 a2 a3 ... a(n-1) an
如同直接去掉了 A 中某一步长为 1 的变换，那么称变换 an 使变换 A 无效，
否则称变换 an 使变换 A 有效。

比如： 变换 (-a) 使变换 a 无效。
如果 a b c d e f 为有效变换，且 a b c d e f (-c) 如同 a b d e f ，
则称变换 (-c) 使变换 a b c d e f 无效。此时得到 a b c d e f = a b d e f c 。

显然，所有的 最少步变换 均是 有效变换。如果 (-c) 使 a b c d e f 有效，
则得到任何以由 c 结束的变换均与 a b c d e f 不同。

3.设变换 A = a1 a2 a3 ... a(n-1) 为有效变换，变换 an 使变换 A 有效，
则称变换 a1 a2 a3 ... a(n-1) an 为有效变换。

二、左有效的定义：
设变换 A = a1 a2 a3 ... a(n-1) 为有效变换，变换 an a1 a2 a3 ... a(n-1)
如同直接去掉了 A 中某一步长为 1 的变换，那么称变换 an 使变换 A 左无效，
否则称变换 an 使变换 A 左有效。

比如：如果 a b c d e f 为有效变换，且(-c) a b c d e f 如同 a b d e f ，
则称变换 (-c) 使变换 a b c d e f 左无效。此时得到 a b c d e f = c a b d e f 。

显然，如果 (-c) 使 a b c d e f 左有效，则得到任何以由 c 开始的变换均与
a b c d e f 不同。

由“有效变换”定义的第 2 条，我们不妨这样定义“无效变换”。
设变换 A = a1 a2 a3 ... a(n-1) 为有效变换，a1 a2 a3 ... a(n-1) an
如同直接去掉了 A 中某一步长为 1 的变换，那么称变换 an 使变换 A 无效，
此时，我们称 变换 a1 a2 a3 a(n-1) an 为无效变换。
并且，任何以无效变换 a1 a2 a3 a(n-1) an 打头的变换都是无效变换。

比如：c z (-c) 为无效变换，那么 c z (-c)、c z (-c) a、c z (-c) b a
等等都是“无效变换”。

ggglgq

2.引用“宇宙飞碟”有关“缩回变换”说明：

以下是引用宇宙飞碟在2004-5-25 8:20:50的发言：


既然有人已经证明了正六面体三阶魔方的循环变换的步数和[或长度]为偶数，那么就没必要考虑长度为奇数的循环变换了[五魔方存在长度为奇数 5 的循环变换]。 问题：显然不存在长度为 二 的循环变换，但是否存在长度为 六 或 十 的循环变换呢？ 请大家考虑，若有请给出，若没有请给出证明；若有其它想法的请跟贴指教。


噢，差点忘了给大家再介绍三个冒牌循环变换，我想该叫它们“缩回变换”了吧？大家看应该叫个啥好呢？


长度为 二 的“缩回变换” ：

value="R1R3"


长度为 六 的“缩回变换” ：

value="R1U1D1U3D3R3"


长度为 十 的“缩回变换” ：

value="F3B3R1U1D1U3D3R3F1B1"


当今社会，请大家注意鉴别真假李逵，谨防假冒“循环变换”呀！！ 请大家回真循环变换贴子时，要特别当心出现这种带有“缩回变换”色彩的无效步骤呀！！

呵呵，他们仅是“无效变换”的几个特别的例子！用“缩回变换”还是比较形象的。

ggglgq

3.引用“乌木先生”对“循环变换球面网”的错误认识：

以下是引用乌木在2005-6-15 20:24:22的发言：

确实，态A经UDU'D'等等的四边形回路，与UUUU一样，都回到态A，再小的回路（三角形）好像不存在。

UDU'D' 是无效变换，因为 UDU' = D 是无效变换，所以 UDU'D' 是无效变换。
因此它不是循环变换。它在“循环变换球面网”中则呈现返回折线的无效变换。
但 UUUU 是有效变换，并且是循环变换。它在“循环变换球面网”呈现正方形。

所有的循环变换在“循环变换球面网”中均呈现高维空间的正多边形“圆”的
图样！（如正三角、正方形等等都是“圆”），请大家参阅我的“循环变换球面网”
的相关内容。

ggglgq

4.引用“邱志红”在《续一式解万方》中把“无效变换”当“循环变换”用：

以下是引用邱志红在2005-9-23 23:34:16的发言：

续一式解万方

-------- N 阶魔方的其他问题及延伸

作者：邱志红

　　是不是觉得很不可思意。还是觉得不可能。那我就证明一下吧。

　　证明：1.对于大于 S 的层次，至少第 S 个转层是不参加转动的，因为大于 S 的层次根本就没有那个转层。现在来看一下 H 函数吧。看看缺少某一个转层即缺少某种颜色字符的层之后的 H 函数是怎么样的吧。

H(p,q,r)=Y_pZ_q^--Y_r^-Z_qY_p^-Z_q^--Y_rZ_q

　　如果缺少 Y_p 层的参与，那么 H(p,q,r)=Z_q^--Y_r^-Z_qZ_q^--Y_rZ_q=I

　　如果缺少 -Y_r 层的参与，那么 H(p,q,r)= Y_pZ_q^-Z_qY_p^-Z_q^-Z_q=I

　　如果缺少 Z_q 层的参与，那么 H(p,q,r)= Y_p-Y_r^-Y_p^--Y_r=I

上面的 I 表示循环操作。发现三个转层缺少任何一个参与，该操作就成了循环操作了。这样就证明了大于 S 的层次即 S 层次里面的层次是不受 H 函数影响的，所作的是循环。

2。对于小于 S 的层次，即 S 层次外面的层次的问题就不好办。因为它不象上面那样至少有一个层没参与转动。它可是三个转层都参与转动了啊，但也是一个循环操作。

如果对所有转动了的小块进行跟踪，要进行 3n²-2n 次跟踪，是不现实的。明显地单体分析是行不通的，还是要整体分析。要是能像上面那样利用循环就方便多了。

为了让大家看得更清楚，我把 H(p,q,r) 进行了加括号处理：

H(p,q,r)=(Y_p)(Z_q^-)(-Y_r^-)(Z_q)(Y_p^-)(Z_q^-)(-Y_r)(Z_q)

如果缺少 Y_p 层的参与，那么 H(p,q,r)=(Z_q^-)(-Y_r^-)(Z_q)(Z_q^-)(-Y_r)(Z_q)=(Z_q^-)(-Y_r^-)(-Y_r)(Z_q)=(Z_q^-)(Z_q)=I

这时的(Z_q^-)(-Y_r^-)(Z_q)(Z_q^-)(-Y_r)(Z_q)是典型的连环“无效变换”，它并不是“循环变换”。

其它两个也一样。

ggglgq

5.小结：请大家理解运用“循环变换”知识时，一定要正确理解“循环变换”
的定义，不要和假循环变换“无效变换”混淆。因为她可能影响您对“循环变换”
的其他相关问题的思考。

即：理解“循环变换”首先要理解“有效变换”，理解“有效变换”首先要
绕过循环变换的迷雾——“无效变换”。