[原创]基于N阶定律的魔方状态数计算公式:第三版

pengw

     忍冬

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计算魔方状态数向来是一个经典魔方问题,也是检验魔方理论正确与否的一个关键因素.数学意义下的魔方状态与魔方着色没有任何关系,魔方状态数与花色数可能相同也可能不同,视着色方法而定.花色数少于或等于魔方状态数,因此这里首先讨论状态数计算,再引深到纯色魔方花色计算.本文在此给出任意阶魔方状态数计算的一般性方法和计算公式.

1.知识准备

掌握N阶定律,对普通排列组合知识有所了解

2.对象声明

除特别声明外,缺省以全色N阶正立方体鲁毕克魔方为讨论对象,全色魔方定义参见第5章"魔方约定"

3.计算依据

扰动关系代表了基态簇与扰动簇的组合关系,扰动关系数代表基态簇与扰动簇的所有可能的组合.

依据簇内变换原则,任意基态簇和与之对应的扰动簇不存在相同的簇状态,并且彼此的簇状态数相同

保持不同扰动关系的魔方之间不存在相同的图案,并且彼此间有相同的图案数

4.计算方法

从簇内变换的角度,计算出每个簇的簇状态数

将所有簇的簇状态数相乘

将第2条的计算结果乘以扰动关系数.如果是偶阶魔方,计算结果要除24,以消除同态图案

5.公式推导

5.1全色魔方有色向簇的簇状态数计算

依据中心块簇内变换原则:

中心块簇状态数:H=4*4*4*4*4*2

依据簇内通用三交换及色向变换原则:

中棱块簇状态数:M=24*22*20*18*16*14*12*10*8*6*2

边角块簇状态数:A=24*21*18*15*12*9*3

5.2全色魔方无色向簇的簇状态数计算

用C代表任意无色向簇,由正立方体魔方结构定义及簇内三交换原则可知,任意无色向簇状态数:C=24!/2

5.3纯色因子

对纯色魔方而言,无色向心块簇的每个簇状态,共有六组四四同色的元素,依据簇内三交换原则,每个簇状态共有24*24*24*24*24*12种相同状态,设W为纯色因子

w=24*24*24*24*24*12=95551488

5.4纯色魔方无色向心块簇状态数计算

设纯色魔方无色向心块簇的簇状态数为E

E=24!/(2*W)= 24!/(2*95551488)

5.5纯色魔方无色向棱块簇状态数计算

对纯色魔方而言,无色向棱块簇的每个簇状态,共有12组二二同花色的边棱块,依据簇内三交换原则,纯色魔方与全色魔方的无色向棱块簇的状态数相同,即24!/2

5.6扰动关系计算

用R代表扰动关系数,由扰动关系计算可知:

n>=1

R=2ⁿ

纯色魔方扰动关系与全色魔方扰动关系数相同,但是,除扰动关系Φ外,所有其它扰动关都有扰动簇丢失,这种情况对计算无影响,计算只关心扰动关系数.

5.7偶阶魔方图案数计算

5.7.1阶数定义

n>=1

阶数=2n

5.7.2同态分析

偶阶魔方的层转动,可产生与魔方整体转动相同的效果,因此,偶阶魔方的一个状态有24个同构状态,因此,偶阶魔方状态数的计算结果要除以24.

5.7.3全色魔方

无色向簇的总数=n²-n

有色向簇的总数=1

图案数P=A*C^n2-n*2ⁿ/24

5.7.4纯色魔方

任一无色向心块簇全组合数E=24!/(2*w),此计算排除相同簇状态

无色向棱块簇的总数=n-1

无色向心块簇的总数= n²-2n+1

有色向簇的总数=1

图案数P=A*E^n2-2n+1*C^n-1*2ⁿ/24

5.8奇阶魔方图案数计算

5.8.1阶数定义

n>=1

阶数=2n+1

5.8.2同态分析

由于中心块相对位置不变,不含中棱块的转层不能产生与魔方整体转动相同的效果,因此奇阶魔方状态无偶阶魔方的同态问题.

5.8.3全色魔方

无色向簇的总数=n²-1

有色向簇的总数=3

图案数P=H*M*A* C^n2-1*2ⁿ

5.8.4纯色魔方

任一无色向心块簇全组合数E=24!/(2*w), 此计算排除纯色导致相同簇状态

无色向棱块簇的总数=n-1

无色向心块簇的总数= n²-n

有色向簇的总数=3,由于纯色导致中心块簇被排除

图案数P=M*A*E^n2-n*C^n-1*2ⁿ

6.相关说明

纯色魔方图案计算是在全色魔方计算的基础上, 从簇中剔除重复的簇状态后的计算结果.

7.纯色分析

7.1簇内二义问题

纯色魔方除边棱块簇,中棱块簇,边角块簇外,每个簇都存在簇状态二义性，这些簇的块要么四四同色（心棱块簇、直棱块簇，心角块簇），或者着色不能反应自身状态变化,如中心块簇

7.2图案同构问题

同构图案:图样结构完全一致但组成颜色不一致的图案互称同构图案,这是非全色魔方特有的问题.同构图案的数量因图样结构不同而不同.如纯色复原魔方图案就没有同构图案,中心块独立转180的图案有六个同构图案.

某些计算组合数的方法要减去同构数,由于非全色魔方图案与魔方状态不对应,计算同构图案的难度因着色不同而不同,一般很复杂,这里计算的纯色魔方组合数未消同构图案.

7.3扰动缺失问题

导致扰动关系缺失，如三阶的扰动关系丢失中心块扰动，但扰动关系总数不变

8.计算举例

以下是全色魔方图案数计算:

二阶组合数:         3674160

三阶组合数:         8.85801*10²²

四阶组合数:         7.07195*10⁵³

五阶组合数:         5.28924*10⁹³

六阶组合数:         1.31*10¹⁴⁸

七阶组合数:         3.0395*10²¹¹

以下是纯色魔方图案数计算:

二阶组合数:         3674160

三阶组合数:         4.3252*10¹⁹

四阶组合数:         7.4012*10⁴⁵

五阶组合数:         2.82871*10⁷⁴

六阶组合数:         1.5715*10¹¹⁶

七阶组合数:         1.9501*10¹⁶⁰

以上计算结果与国外官方网站发表的数据相互映证,从而证明计算所依据的理论-N阶魔方定律是正确的

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^忍冬

[此贴子已经被作者于2006-11-8 6:54:59编辑过]

乌木

说实话，我没看懂。说几句门外话。

在配合别人计算（由七个不同形不同色零件拼装为一个3×3×3单元）立方体花样总数时，起初发现同一花样被统计为24种花样。原来是，相当于一立方体某个面保持向上时，水平旋转的四个方位，被当作四个花样；六个面都受此“厚待”，总共就是24种了。（后来没另编程序去排除多余的23种，因工作量不算太大，用了半人工法排除了。）

说以上故事，是想问问您的计算中有无考虑类似问题。数字那么大，又无具体花样出来，可不易检查呀。

门外话，门外话噢！

pengw

以下是引用乌木在2005-4-6 17:53:49的发言：

说实话，我没看懂。说几句门外话。

在配合别人计算（由七个不同形不同色零件拼装为一个3×3×3单元）立方体花样总数时，起初发现同一花样被统计为24种花样。原来是，相当于一立方体某个面保持向上时，水平旋转的四个方位，被当作四个花样；六个面都受此“厚待”，总共就是24种了。（后来没另编程序去排除多余的23种，因工作量不算太大，用了半人工法排除了。）

说以上故事，是想问问您的计算中有无考虑类似问题。数字那么大，又无具体花样出来，可不易检查呀。

门外话，门外话噢！

乌木朋友,要相信数学知识,能穷举的事总是有限的.首先要理解N阶定律,才能理解计算所依据的原理,最后才能对计算结果充满自信.每一个理论稍有不慎,就会被一个反例颠覆,希望被你颠覆,这样我才不会懒惰而丧志,玩笑.

全色魔方的花色与全色魔方的状态一一对应,所以全色魔方花色数的计算才具有科学意义,纯色魔方的花色与纯色魔方的状态不是一一对应,存在一个花色对应多个状态的问题,花色数比状态数少,所以不能反映魔方的真实状态.纯色魔方常见,所以在应用举列中给出了计算方法,绝色魔方组合数,严格地讲应称为花色数,自然计算结果小于魔方状态数.记住,魔方着色与魔方状态无关,魔方花色可以完全反映魔方的状态,也可能反映一部分状态,看你如何着色

[此贴子已经被作者于2005-4-7 9:24:40编辑过]

大烟头

　　能否把二阶至六阶魔方组合数的计算过程的列式写出来。我最怕看长篇的理论了，教我实际应用操作就行了，看你的计算过程就知道这理论的大慨了。

[此贴子已经被作者于2005-10-3 23:22:51编辑过]

大烟头

忍冬计算表：

pengw

以下是引用大烟头在2005-5-16 8:17:47的发言：

能否把二阶至六阶魔方组合数的计算过程的列式写出来。我最怕看长篇的理论了，教我实际应用操作就行了，看你的计算过程就知道这理论的大慨了。

首要在此感谢你助我发现二处计算错误,此外你引用的我的计算表,有错误,弃之不用.

计算时,照贴子要求,只须确定魔方的阶数及奇偶,并将参数代入相应公式即可.

本想将公式做的更直接,但对阐述原理及表达的简洁性不利.其实完全可以做成你引用的老外公式的形式.

大烟头

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引用１楼：

。。。。。。。

5.7.2同态分析

偶阶魔方的层转动,可产生与魔方整体转动相同的效果,因此,偶阶魔方的一个状态有24个同构状态,因此,偶阶魔方状态数的计算结果要除以24.

。。。。。。。

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奇阶魔方的层转动，也可产生与魔方整体转动相同的效果,因此,奇阶魔方的一个状态有24个同构状态,

为何,奇阶魔方状态数的计算结果不除以24.

忍大师计算公式还要分两种，计算也太麻烦了，看不懂。

大烟头

听说清道夫２看得懂，我想请他来说一下心得体会，让我学学[em17]

[em23][em23][em23]

[em24][em24][em24]

大烟头

和我一样笨的、看不懂忍大师理论之人，可以先去看一下这两个国外进口的计算公式：http://bbs.mf8-china.com/dispbbs.asp?boardID=15&ID=932&page=1

[em04][em04][em04]

清道夫2

偶阶魔方的层转动,可产生与魔方整体转动相同的效果,因此,偶阶魔方的一个状态有24个同构状态,因此,偶阶魔方状态数的计算结果要除以24.

连神六回收地球都想的出来,难到就理解不了上面那句话?精英们真是惊得我目瞪口呆!