[原创]基于N阶定律的组装状态分析:第二版

pengw

3.12. 组装错误分析

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3.12.0  前提条件

由于魔方生产组装工艺的千差万别，可能的组装错误难以预料，从严格意义上讲，组装错误分析相比于魔方变换分析而言，没有什么太多的意义，尤其是高阶魔方，组装错误分析基本是不可能的。

通过计算手工组装魔方的全排列状态数，然后以此除以可判断的最小非法状态数+1，由此可以计算出魔方的合法状态数，这是计算低阶魔方合法状态的一个简朴有效的方法，这也许是“组装错误分析”存在实用价值的一个理由，但是，在结构复杂的高阶魔方上，正确定义“合法”的手工组装是一件困难或不易确定的事，因此，从组装角度研究魔方状态，并不是令人愉快的选择。为了照顾有兴趣的魔友，特在此，更新这篇本拟删除的论文。

3.12.1. 错误描述

对随意组装(相对基态图案,不允许变更色标,中心块不能互换位置,无色向块不能装错方向,此限制的理由是显而易见的)的魔方进行复原操作,有可能无法复原,错误有以下表现:

1. 存在无法转换成基态簇的扰动簇

2. 中棱块簇及边角块簇的色向无法全部复原到基态色向

3.上面二种错误的混合

总之所谓组装错误就是相对选定的基态图案,魔方呈现的状态与N阶定律预言不符

3.12.2. 错误表现

3.12.2.1. 色向错误

1.) 中棱块簇色向和不为零

2.) 边角块簇色向和不为零

3.)中棱块簇色向和与与边角块簇色向和匀不为零

3.12.2.2. 扰动错误

魔方上存在扰动簇,扰动簇无法用扰动关系变换消除

3.12.3. 错误归约

组装错误在簇内变换及簇间变换支配下将发生转换:

3.12.3.1. 色向归约

中棱块簇色向错误最终转换为有唯一中棱块不能回到基态色向

边角块簇色向错误最终转换为有唯一边角块不能回到基态色向

3.12.3.2. 扰动归约

扰动简化: 在魔方扰动关系的转换下,扰动簇可以简化为数量最少的扰动簇;中心块扰动簇经由中心块色向变换后,现为有唯一个中心块转动了90度.其它扰动簇经簇内三换交转换后,现为仅有唯一一对块互换了位置.

等价转换: 在魔方扰动关系的支配下,一个或多个扰动簇的组合可能转换为同等大小的其它扰动簇组合

3.12.4. 错误定义

用以下条件过滤全体扰动簇所有组合后,余下的是最简,最少的扰动错误组合

1. 排除满足扰动关系的扰动簇组合

2. 排除能被简化到更小扰动簇组合的扰动簇组合

3.所有等相互等价的扰动簇组合只保留一个

3.12.5. 错误形式

1. )一种扰动错误

2.) 单一色向错误

3. )色向错误的组合

4. )一种扰动错误与色向错误的组合

3.12.6. 错误计算

5. 所有组装错误数=扰动错误数+单一色向错误数+色向错误组合数+扰动错误数*(单一色向错误数+色向错误组合数)

3.12.7. 分析举例

3.12.7.1. 三阶问题

由色向变换原理可知:

中棱块色向错误只有一种

边角块色向错误只有二种,并且二种错误互斥

三阶扰动关系:

St=H+M+A

单一扰动错误:

H

M

A

成对扰动错误：

H+M

H+A

A+M

成对扰动错误经由扰动关系St=H+M+A变换可得以下错误简化转移：

H+M+（H+M+A）= A     #中心块簇扰动错误与中棱块簇扰动错误转为单一边角块簇扰动错误

H+A+（H+M+A）=M      #中心块簇扰动错误与边角块簇扰动错误转为单一中棱块簇扰动错误

M+A+（H+M+A）=H  #中棱块簇扰动错误与边角块簇扰动错误转为单一中心块簇扰动错误

由上可知，三阶任意扰动错误，都可以转为三种单一扰动错误之一.

扰动错误数=3

单一色向错误数=3

色向错误组合数=2

所有组装错误数=3+3+2+3*(3+2)=23     #全色魔方组装错误数

三阶纯色魔方排除中心块扰动错误，则余下的二种扰动错误可经由扰动变换转为同一种扰动错误：

所有组装错误=1+3+2+1*(3+2)=11     #纯色魔方组装错误数

3.12.7.2. 四阶问题

此处假设四阶魔方的无色向簇的块只可能位置装错,不可能方向装错,当前的四阶结构也满足这个前提.

由色向变换原理可知:

边角块色向错误只有二种,并且二种错误互斥

四阶扰动关系如下:

L1=B1

St=C1+A

L1+St= C1+B1+A

单一扰动错误:

C1

A

转换：C1+(C1+A)=A

因此单一扰动错误经转换后只余1个

成对扰动错误:

B1+A

B1+C1

转换：B1+A+（B1）=A

转换：B1+C1+（B1）+（C1+A）=A

转换后成对扰动错误不存在

由上可知，四阶任意扰动错误，都可以转为一种扰动错误.

扰动错误数=1

单一色向错误数=2

色向错误组合数=0

所有组装错误数=1+2+1*(2+0)=5   #全色魔方错误数

四阶纯色魔方排除心角块扰动错误，依据四阶扰动变换规则，四阶绝色不存在扰动错误

所有组装错误=0+2+0*(2+0)=2    #纯色魔方错误数

3.12.7.3. 五阶问题

此处假设五阶魔方的无色向簇的块只可能位置装错,不可能方向装错,当前五阶结构也满足这个前提.

由色向变换原理可知:

中棱块色向错误只有一种

边角块色向错误只有二种,并且二种错误互斥

五阶扰动关系如下:

L1= F1+B1

St= C1+F1+H+M+A

L1+St= C1+B1+H+M+A

单一扰动错误：

C1，B1，H，M，A，F1 共6个

经由扰动方程L1=F1+B1转换：

F1+(F1+B1)=B1

单扰动错误数余下:5个

成对扰动错误：

6取2的组合 共15个

经由扰动方程L1=F1+B1换：

(F1+B1)+(F1+B1)=Φ

(F1+C1)+(F1+B1)=B1+C1

(F1+H)+(F1+B1)=B1+H

(F1+M)+(F1+B1)=B1+M

(F1+A)+(F1+B1)=B1+A

成对扰动错误余下:10

三个或三个以上扰动错误可由扰动方程简化为二个或一个扰动错误

扰动错误总数:15

单一色向错误数=3

色向错误组合数=2

所有组装错误数=15+3+2+15*(3+2)=95   #全色魔方错误数

五阶纯色魔方直棱块簇，心角块簇，边棱块簇，中心块簇不存在扰动错误，依据五阶扰动变换规则，五阶纯色所有扰动错误最终转换为单一边角块簇扰动错误。

所有组装错误=1+3+2+1*(3+2)=11       #纯色魔方错误数

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相关术语参见"N阶正立方体魔方变换定律"

忍冬

[此贴子已经被作者于2007-4-14 23:37:15编辑过]

大烟头

所有组装错误数是什么？求这个东西有什么用？

#全色魔方错误数是23个，#纯色魔方错误数11个，能不能通俗一点讲一下？

乌木

楼主说：

“……三阶扰动关系:
St=H+M+A
错误经由扰动关系变换可得以下错误简化转移：
H+M->A #中心块位错误与中棱块位错误转为单一边角块位错误
H+A->M #中心块位错误与边角块位错误转为单一中棱块位错误
M+A->H #中棱块位错误与边角块位错误转为单一中心块位错误
H+M+A->0 #三种块的块位错误互消为零
由上可知，三阶任意块位错误，都可以转为三种单一扰动错误之一.”

其中“转移”、“转为”不会指“拆了重装”吧？应该指“合法的转动操作”吧？那么，一定是这样：（例如）

“中心块位错误与中棱块位错误”是错装引起的非法态，经过合法的操作可以“转为单一边角块位错误”，而后者当然还是非法的。

这样理解楼主的话没错吧？

大烟头

按忍大师的定义“中心块不能互换位置”，应该就没有“中心块位错误”，是“中心块色向错误”吧？[em01]

pengw

以下是引用大烟头在2006-5-29 18:16:20的发言：

所有组装错误数是什么？求这个东西有什么用？

#全色魔方错误数是23个，#纯色魔方错误数11个，能不能通俗一点讲一下？

烟大师，你又出来装神弄鬼了？哈哈哈。。。

其实，当初，我只想利用N阶定律来分析魔方随意组装并经变换后，可能表现出来的错误状态及数量。

例如：

三阶共有11个错误状态，一个正确状态。通过计算手工组装的全组合状态数并除以12，就是合法状态数，这是计算状态数的一种方法。但对于更高阶魔方，其实没有多大意义。

本来觉得讨论组装错误的问题没有多大意义，而想删除这篇论文，谁知有魔友对这个问题发生了很大感兴趣。也就陪着聊了。

组装错误的讨论只能在限制错误条件的前提下讨论才有意义，总体上这个讨论没有什么太多的意义。

pengw

以下是引用大烟头在2006-5-29 20:39:20的发言：
按忍大师的定义“中心块不能互换位置”，应该就没有“中心块位错误”，是“中心块色向错误”吧？[em01]

中心块色向错误，本来就是一种扰动错误，别装鬼了。

pengw

楼主的论文当初也是随意写的，存在一些小笔误，给各位造成一些理解上的错误，特表示歉意，已做了一些小修改

大烟头

能不能这样子讲：

组装错误数为：随意组装（中块不拆）总状态数除以合法状态的总状态数再减1？

大烟头

以下是引用pengw在2006-5-29 20:47:04的发言：

例如：

三阶共有11个错误状态，一个正确状态。通过计算手工组装的全组合状态数并除以12，就是合法状态数，这是计算状态数的一种方法。但对于更高阶魔方，其实没有多大意义。

忍大师不是有N阶魔方总状态数的公式吗？N阶魔方的随意组装（中块不拆）总状态数应该不难得出吧。

这不是很容易就会找出N阶魔方的组装错误数。呵，到时还可以顺便验证一下你５阶的答案是否正确。

哈哈哈哈哈。。。。。。

[此贴子已经被作者于2006-5-29 23:03:54编辑过]

smok

以下是引用大烟头在2006-5-29 22:52:41的发言：

能不能这样子讲：

组装错误数为：随意组装（中块不拆）总状态数除以合法状态的总状态数再减1？

总算是开窍了！烟大师同志！

[此贴子已经被作者于2006-5-31 9:13:29编辑过]