给几个关于无限的题目

咖啡味的茶

1 (整数n从1到无限大)无限交集(-1/n,1/n)=？2 (整数n从1到无限大)无限交集(0,1/n)=？3 当x趋向于0时，[(2-tanx)^(1/2)-(2-sinx)^(1/2)]/(x^3*sin3x)~？注意！不是求极限！~是等价量符号4 b大于0，证明区间(a+b,a-b)必同时存在有理数与无理数。

[ 本帖最后由 咖啡味的茶 于 2009-6-20 17:24 编辑 ]

今夜微凉

第一题，应该是“零”这个点
第二题，零点是本身不包含在内的，那就应该是一个无穷小的“零的右邻域”，根据集合的极限的定义~这个题目没有极限，或者说，极限是空集〔这两题都跟闭区间套定理有冲突，不能用这个定理〕
第三题，没有极限~~~~证明过程附图（由于我不想打word，就照相了~~）
第四题，假设a为有理数，b不管有理无理，b既然是某大于零的实数，就必然大于某n分之一〔n是某正整数〕，则符合条件的有理数就是a+1/n，符合条件的无理数就是a+1/〔根号2乘以n〕。假设a为无理数，再设b-a大于m分之一〔m是某正整数〕，则符合条件的无理数就是a+1/m，同时，可以找到这样的正整数k，使得k/m 小于 a 小于 (k+1)/m〔即1/m的区间包含了a点，〕，则b必然在此区间之外，于是(k+1)/m就是符合条件的有理数。〔第三题需要数学分析的知识，待续〕
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话说我觉得这帖发的不是时候~不仅回复少，而且还马上被淹没了~以前的难题都5，6十个回复~
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插一句题外话~~我是数学系学生~~所以对于这些问题比较敏感~~呵呵，有机会多多交流问题

[ 本帖最后由 今夜微凉 于 2009-6-20 08:03 编辑 ]

kexin_xiao

咖啡又来出题了，好好学习一下

conwood

1, {0}
2, {}
3, +0和-0的极限不同
4, 有理数容易证明。无理数可通过先证明(a+pi+b, a+pi-b)中有有理数r，从而r-pi便是所求的无理数。

原帖由 咖啡味的茶 于 2009-6-19 22:58 发表
1 (整数n从1到无限大)无限交集(-1/n,1/n)=？2 (整数n从1到无限大)无限交集(0,1/n)=？3 当x趋向于0时，[(2-tanx)^(1/2)-(2-sinx)^(1/2)]/(x^3*sin3x)~？4 b大于0，证明区间(a+b,a-b)必同时存在有理数与无理数。

今夜微凉

原帖由 conwood 于 2009-6-20 01:37 发表
1, {0}
2, {}
3, +0和-0的极限不同
4, 有理数容易证明。无理数可通过先证明(a+pi+b, a+pi-b)中有有理数r，从而r-pi便是所求的无理数。

第四题的思想很有特点，不过第三题还是没给出答案呀~前两题咱俩都一样，呵呵~
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当作为楼主顶一下帖吧~

咖啡味的茶

其它题都没多大问题，就是3中~不是求极限，而是等价量。

Cielo

第四个问题，conwood 的方法很简便！

我看到题目想到的是有理数和无理数在实数轴上的稠密性……

shadowyang

2楼正解，但是第四题要证的不就是a的非空邻域内既有有理数又有无理数吗？
数学分析多简单就说明了，实数就具有这样的性质啊

咖啡味的茶

这就是要你证这种性质

肥熊

是昨天的中考題目嗎.!?
呵呵..太高深了..
不懂..