魔方的最远状态要几步复原

ggglgq

    
    终极状态

    先看几个“终极状态”的特例！
    

    1.斜十字；

    2.五色棋盘1，请参考 cube_master 先生的  离初始状态最远的图案  ；

QUOTE:

以下是引用cube_master在2004-5-5 8:09:08的发言：
自从有了 cube300 后，我们可以很轻易地算出任何状态下，魔方的最短还原路径，而且大部分都不超过 20 步。而按科学家用复杂的群论论证估计，魔方从初始状态到最远的状态是 22 或 23 转。那么，有没有办法找到这个最远状态的图案呢？本人昨晚 10：30 开始用 cube319 算下面的图案，前 15 步用时 0.84 分钟，到第 16 步用时 7.88 分钟，第 17 步用时 92.35 分钟，而第 18 步竟然到第二天上午 8：30 仍未算出。看来这个图案离初始状态也挺远的。由于今天要上班，看来只好等以后有机会再算了。

    3.五色棋盘2；

[此贴子已经被作者于2006-11-17 9:04:11编辑过]

ggglgq

终极状态

？？？ 最少步的疑问 ？？？

引用 大烟头 的 最少步的疑问

以下是引用大烟头在2005-2-5 23:41:11的发言：

U R' U L2 U' R U L' U' R' U L' U' R U'

D R U' L2 U R' U' L2 U D'

U F U' B2 U F' U' B2 这三个公式的步长不一样，为何效果一样？ U F U' B2等18个旋转符号，要按怎样的排序，才能达到最精简呢？真是个数学难题啊!

循环理论的目的是否是这个？

如果能从公式的符号排序里看出该公式是否是最简的公式，那就好了。但是有可能找出最简的公式符号排序规律吗？

上面的问题不太好回答呀，我想采用另一种方式---“状态”、“终极状态” “路过”、“偶尔路过” 来回答，可能更容易理解接受！（很想 [偶尔路过] 呀， 呵呵， [偶尔路过] 半年多都未 路过 魔方吧 了，这回就让他多路过几次吧！）

那么什么叫“终极状态”呢？请大家先看看 离初始状态最远的图案 中 [宇宙飞碟] 的定理：

以下是引用宇宙飞碟在2004-5-28 10:53:08的发言： 怎么这两天有关《循环变换》的点击数[人气]这么低，为了提高《循环变换》[人气]，我又证明了《离初始状态最远的图案》的一个结论： [定理] 设：三阶魔方的最长变换的长度为 x ，并设： a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax 为其中任意一个长度为 x 的最少步变换，设这个变换为 A ， 即： A = a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax ，又设 d 为任意一个步长为 1 的变换， 那么：对于这个最长变换 A 存在一个由 d 开始的长度为 x 的最少步变换 B ，也存在一个由 d 结束的长度为 x 的最少步变换 C ， 使得：A = B = C 。 感兴趣的网友对我的 [定理] 先发表一些看法或证明，然后我再给出结论吧，我想这样做是不是可能会增加点 [魔方吧] 的人气 及 大家对《循环变换》的关注和理解呢？[em07][em04][em07]

ggglgq

终极状态

本文所涉及的内容默认为“正六面体三阶魔方”，可以很容易扩展到其它各类 魔方中去。为使结论尽量不产生偶然的冲突，特规定 旋转 180 度为 2 步！

为了阐述方便，下面先引入几个描述性的概念： 描述性理解的概念有：状态、终极状态、路过、偶尔路过、出路。

1.状态：本文所提的所有的“状态”均为从“初始状态”出发，由某一最少步 变换序列而产生的“状态”。通常我们用这个最少步变换序列表示这个“状态”。 一个“状态”往往可以有很多“最少步变换序列”！ 比如：从 初始状态 出发，由最少步变换序列 r1 r1 产生的状态，记作： 状态 r1 r1 。当然 状态 r1 r1 有两个最少步变换序列： r1 r1 和 r3 r3 。

2.路过：如果 状态 A 的步长大于 1 ，并且最少步变换序列 A 是唯一最少步， 变换序列 B 为去掉 变换序列 A 最后 一个 步长为 1 的变换 的 任一子变换序列， 此时我们称 状态 A “路过” 状态 B 。 比如：状态 r1 u1 f1 是唯一最少步变换序列，则 状态 r1 u1 f1 分别 路过 状态 r1 、状态 u1 、状态 r1 u1 。

3.偶尔路过：如果 状态 A 的步长大于 1 ，并且变换序列 A 不是唯一最少步， 变换序列 B 为去掉 变换序列 A 最后 一个 步长为 1 的变换 的 任一子变换序列， 此时我们称 状态 A “偶尔路过” 状态 B 。 比如：状态 r1 r1 不是唯一最少步变换序列，则 状态 r1 r1 分别 偶尔路过 状态 r1 、状态 r3 。 这是因为 状态 r1 r1 和 状态 r3 r3 为同一状态的 两个最少步变换序列。

4.终极状态：设 c 为任意一个步长为 1 的变换，对于状态 A 存在一个由 c 结束的最少步变换序列 B ，使得 A = B ，则称状态 A 为“终极状态”。 由 [宇宙飞碟] 的 离初始状态最远的图案 的定理可知： 任一 离初始状态最远的状态 都为 终极状态 ，但反过来说却是错误的！

5.出路：如果 状态 A 不是 终极状态，我们称 状态 A 有 “出路” 。 只有 状态 A 有 出路时，我们才有可能沿着状态 A 的 出路 构造比 状态 A 更远的 状态 ！而寻找这种 出路 ，照目前看来，在没有更先进的理论面世之前， 也只能用“循环变换”理论更容易些了！

ggglgq

QUOTE:

以下是引用ggglgq在2005-2-18 9:13:33的发言：

    
    终极状态

    先看几个“终极状态”的特例！
    

    1.斜十字；

    2.五色棋盘1，请参考 cube_master 先生的  离初始状态最远的图案  ；

    3.五色棋盘2；

 

    由对称性可知，前面举的三个例子都是 终极状态 。因为对于它们的某一最少步变换
序列，把它对称、旋转到任何一面用，都可以得到同一状态，即得这个状态符合 终极状态
的概念，因此前面三个例子都是 终极状态 。   当然不是所有 终极状态 都具备 对称性，
我的特例只是让大家更容易理解 终极状态 的概念才给出的呀！

[此贴子已经被作者于2006-11-17 9:07:20编辑过]

ggglgq

终极状态

定理：任一 状态 不 偶尔路过 某一 终极状态 。

证明非常简单，因为若一个状态 P 偶尔路过 某一 终极状态，设状态 P 变换序列为 a1 a2 ... b1 b2 ... bm -c ... an ，其中 b1 b2 ... bm 为终极状态，那么对于这个 终极状态 b1 b2 ... bm ，存在一个由 c 结束的最少步变换序列 c1 c2 ... c(m-1) c ， 使得 b1 b2 ... bm = c1 c2 ... c(m-1) c ，这时我们发现，变换序列 P 已经变为 a1 a2 ... b1 b2 ... bm -c ... an = a1 a2 ... c1 c2 ... c(m-1) c -c ... an ， a1 a2 ... b1 b2 ... bm -c ... an = a1 a2 ... c1 c2 ... c(m-1) ... an ，即说明 P = a1 a2 ... b1 b2 ... bm -c ... an 不是 最少步变换序列，这与 状态 的概念矛盾， 故定理得证。

由上面的定理直接得到： 离初始状态最远的状态 不 偶尔路过 某一 终极状态 。

这个定理告诉我们，如果一个状态是 终极状态 ，那么它有可能是一个 离初始状态 最远的状态 ，如果它不是 最远的状态 ，那么我们不可能再通过这个 终极状态 来构造 其它任何 状态 ，当然更不可能通过这个 终极状态 来构造 离初始状态最远的状态 了！ 呵呵，希望魔友们在寻找 离初始状态最远的状态 时一定要避开 终极状态 的暗礁呀！

老猫

以下是引用ggglgq在2005-2-18 9:41:16的发言：

由对称性可知，前面举的三个例子都是 终极状态 。因为对于它们的某一最少步变换序列，把它对称、旋转到任何一面用，都可以得到同一状态，即得这个状态符合 终极状态的概念，因此前面三个例子都是 终极状态 。 当然不是所有 终极状态 都具备 对称性，我的特例只是让大家更容易理解 终极状态 的概念才给出的呀！

斜十字不是只要 6步吗？即使 U2 算两步，也只有 12步 呀？

ggglgq

  

    可以看的出，上述 终极状态 的思想是以“循环变换”理论为基础得到的。但它的思想
实际上对于规定 旋转 180 度为 1 步的正六面体三阶魔方是适用的，尤其是在“离初始状态
最远的状态”问题上，可以让我们避开 终极状态 的暗礁，少走弯路！ 尤其是它避免了引入
复杂的“魔方群”，适合大众化阅读理解。

比如： 五色棋盘2 就是一个含 前后一步同时为 旋转 180 度的 19 步长的 终极状态，
很有意思！ 当然，它是含有前后一步同时为 旋转 90 度的 19 步长的 终极状态 ，请大家
有空用 cube356 试试啦，太费时间喽！

[此贴子已经被作者于2006-11-17 9:12:01编辑过]

老猫

以下是引用ggglgq在2005-2-18 9:35:56的发言：

......

4.终极状态：设 c 为任意一个步长为 1 的变换，对于状态 A 存在一个由 c 结束的最少步变换序列 B ，使得 A = B ，则称状态 A 为“终极状态”。 5.出路：如果 状态 A 不是 终极状态，我们称 状态 A 有 “出路” 。 只有 状态 A 有 出路时，我们才有可能沿着状态 A 的 出路 构造比 状态 A 更远的 状态 ！

嗯，不错！

cube_master

ggglgq 老师的讲解很详细，很好！

ggglgq

？？？ 老猫 的“正六面体五阶魔方” ？？？ 老猫 先生，请问：

如果有人在“魔方吧论坛”上证明了下面两个问题中的任意一个结论：

1.对于 正六面体三阶魔方 旋转侧面（ 上、下、左、右、前、后 ） 90 度 或 180 度 都算 1 步，正六面体三阶魔方的最远状态为 21 步（即：此时根本不存在 22 步 的状态）；

2.对于 正六面体三阶魔方 仅 旋转侧面（ 上、下、左、右、前、后 ） 90 度 算 1 步，正六面体三阶魔方的最远状态为 22 步（即：当 180 度算 2 步时才存在 22 步 的状态）。

你的“正六面体五阶魔方”该如何处理 ？[em07]

咦！？“为 宇宙飞碟 祝福！” 帖子呢？ 噢，跑到“『魔方类』→★交友区★” [区域固顶] 去了！