2×2平面魔方态态关系网－－找点启发

乌木

2×2平面魔方共24个状态，每一态有4种操作U D L R。态态关系画成树形网时有5代。同态一律合并，树形先扩张，后收缩。任一态到某一指定态，走得好可以不超过4步，等等。总之，其它魔方的巨型网的情况如何，从这一小小网中应可得些启发。哪位电脑图画得好的，不妨把它重画一下。
噢！见过！小时候玩过！
啊？
“挑线绷绷”嘛！

（Z.Yu 提供 M.Yu 作图编文）

[此贴子已经被作者于2005-5-29 9:06:00编辑过]

大烟头

2*2魔方的总状态数好象是3！＝6个态点，如旁边有参照点情况下才是4！＝24。不过这个不是讨论的主题。

从楼上的图片我所能看出的东西：

1、每个态点射出的线都是4根。

2、总状态数与计算结果一样是4！＝24。

3、每个态点的最小循环都为4个步长、最大循环都为8个步长。

4、最远状态的最少步为4个步长。

我所能看出的就这些了，不知大家还有没有其它的补充？

思考：

如果这24个态点在一个球面上，我想这些态点在球面上应该均匀分布的。设球面上两个上下级态点间弧长为1，那这个球的周长是多少呢？

大烟头

异想天开：

拿24个球，用同样长的线按图中的样子把球连接，再把所有的线拉直，会成什么样子呢？

先数一下有几根线：4+4*3+12*3+4＝56（错了），应为24*4/2＝48

[em02]

[此贴子已经被作者于2005-5-29 12:25:30编辑过]

乌木

我数数共48根线，U12根，D12根，……。您再数数。
烟兄你说的6……，24……；我把这24孝图如下排一排，和你说的对得上号吧？

[此贴子已经被作者于2005-5-29 11:51:40编辑过]

大烟头

是的我数错了。是48根，这个也可算出来：一个态有四根线，两个态共用一根为：24*4/2＝48

noski

平面的我也画出来了,只是表示成直观的三维图有点难度..

大烟头

这时让我想起智美高玩具，拿来做这小型的态点模型应该可以。我要预订一个[em02]

http://bbs.mf8-china.com/dispbbs.asp?boardid=6&id=788&star=1#8401

[em01]

ggglgq

<P><FONT face=幼圆 color=#3300ff size=5>我构造的 2×2 平面魔方“循环变换球面网”<BR></FONT></P>
<P><IMG src="http://bbs.mf8-china.com/data/attachment/forum/dvbbs/2005-5/2005530753795616.jpg"></P>
<P><BR><BR>2×2 平面魔方有 4 种操作 U 、 D 、 L 、 R 。 2×2 平面魔方的“循环变换球面网”<BR>为“正八面体的循环变换球面网”（如图）。</P>
<P>请各位魔友注意，图中 A --&gt; B 箭头表示：从 A 到 B 但还需要整体旋转后才能得到 B 。<BR>图中不带箭头的可以互相转换；但带箭头的是不能互相转换的，转换后还需整体旋转。</P>
<P>我们不妨分别用 U 、 U+ 、 U2 、 U- 表示（D 、 L 、 R 操作同理）：<BR>U 表示操作 U 后不需要再做整体旋转；<BR>U+ 表示操作 U 后再做顺时针整体旋转；<BR>U2 表示操作 U 后再做整体旋转 180 度；<BR>U- 表示操作 U 后再做逆时针整体旋转。</P>
<P><BR>由 2×2 平面魔方“正八面体的循环变换球面网”可以得出， 2×2 平面魔方“循环变换”<BR>只有三种：</P>
<P>1. 步长为 2 的循环变换：如 U U （两点式圆）</P>
<P>2. 步长为 3 的循环变换：如 D R U- （正三角圆）</P>
<P>3. 步长为 4 的循环变换：如 D U D U （正方形圆）</P>
<P><BR>其他的封闭多边形均是“广义循环变换”，当然可以构造出 N 阶（即周期为 N ）算子循环<BR>变换。请感兴趣的魔友自己试试！</P>
<P>由 2×2 平面魔方“正八面体的循环变换球面网”可以得出，2×2 平面魔方总状态数只有 6 个<BR>（经过整体旋转后相同的为同一状态）。最小循环变换为 2 个步长，最大循环变换为 4 个步长。</P>
<P>由最大循环变换为 4 个步长立即得到：</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;<FONT size=6><FONT color=#3300ff>2×2 平面魔方<BR></FONT><FONT color=#3300ff>最远状态的最少步只有 2 个步长</FONT></FONT>。[em07]<BR>（即得 2×2 平面魔方任意两个状态之间最多需要 2 步），<BR>比如： D U 就是 2×2 平面魔方的一个最远状态！</P><BR><BR>

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2007-12-17 12:22 编辑 ]

ggglgq

从上面的例子，大家可能对“循环变换球面网”已有了更进一步的认识。实际上各类魔方的
“循环变换”都构成“循环变换球面网”！

不过，请大家注意，这个“循环变换球面网”的球面可能不是“三维空间的球面网”，而是
“高维空间的球面网”！

乌木

既然称“球面……”，是否不用8面体，以免“网线”“入地”，改用球面上的“经纬线”，让网线也在球面。
若这样行，我在“……关系网（1）”中设想的“放射花”可复活了，但要合并许许多多的同态，正如本话题1楼的2×2平魔网那样。花芯附近还像朵花，花瓣有长有短，整朵花就不求如何如何了，“花瓣招展”呀。
此外，若是高维结构，也得尽量投影到三维来呀，我们可都是三维动物噢。当然，不是都能投影的，好多只能用数学语言描述。那样，我是只好拜拜了。（据说宇宙本来是十维的，大爆炸只出来了四维，其余处于压缩态云云，人家可是正经说的，不是山海经。）