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与魔方有关的问题 [复制链接]

Cielo

透魔

有空了学学4D二阶

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电梯直达

1^#

发表于 2008-7-18 22:29:32 |只看该作者 |倒序浏览

一个三阶魔方，如果只允许转动U面和R面，问一共能产生多少种不同的角块位置的状态（就是说不考虑角块色向，只考虑位置，有多少种不同的状态）？
 
摘自《Handbook of CUBIK MATH》（作者A.H.Frey, D.Singmaster）习题7.5-1

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乌木

魔方贵宾

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发表于 2008-7-18 23:13:30 |只看该作者

如果再加不考虑棱块变化，答案是不是6！＝720 ？如果棱块不许移动，则答案是不是6！/ 2＝360 ？

问题是，我的考虑中没有用到只转U和R这条件，只考虑了5号角和6号角最后不动等，而中间过程是允许动的，也就是不限于转U和R，不知答案是否一样？

那只许转U和R的条件是否属于“捆绑”魔方了？是否影响答案？

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

下面g老师的java图失效了，我代为补充于此。

4楼的：










5楼的：





6楼的：










[ 本帖最后由乌木于 2009-4-14 17:44 编辑 ]

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bbshanwei

透魔

红舞半支烟

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发表于 2008-7-19 00:10:03 |只看该作者

一直以来关于魔方的纯理论东西我知道的就是少。

一切从“零”开始。

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ggglgq

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发表于 2008-7-19 05:32:17 |只看该作者

一、单考虑正六面体三阶魔方“角块”的位置状态（不考虑“棱块”）。            此时，除了两个固定的“白角块”不能动外，其他六个自由“角块”   任选两个“排”到两个“蓝角块”的位置，共有 6 × 5 ＝ 30 种排列方法。   令人无奈的是，剩下可怜的四个“角块”只能在右边乖乖地原地“兜圈子”。             

<applet code="ch.randelshofer.rubik.RubikPlayerApp.class" codebase="http://bbs.mf100.org" archive="rubikplayer.jar" width="300" height="300">
<param name="ColorTable" value="0xf8f8f8,0x00732f,0xff4400,0xffd200,0x003373,0x8c000f,0x858585">
 <param name="scrgptLanguage" value="SupersetENG">
 <param name="stickersFront" value="4,6,6,0,0,6,0,0,6">
 <param name="stickersRight" value="6,6,6,6,6,6,6,6,6">
 <param name="stickersDown" value="0,0,6,0,0,6,0,0,6">
 <param name="stickersBack" value="6,6,4,6,0,0,6,0,0">
 <param name="stickersLeft" value="4,6,4,0,0,0,0,0,0">
 <param name="stickersUp" value="4,6,6,6,6,6,4,6,6">
</applet>

             因此，这种情况 6 个自由“角块”只能产生相对与固定“角块” 的    6 × 5 × 4 ＝ 120 种不同的位置状态。

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ggglgq

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发表于 2008-7-19 05:33:36 |只看该作者

二、给大家一个正六面体三阶魔方“棱块” 的只允许转动 U 面和 R 面   的“三置换”公式：                 U2R'U'R'U'RURURU     <APPLET codeBase=http://bbs.mf100.org height=300 archive=rubikplayer.jar width=300 code=ch.randelshofer.rubik.RubikPlayerApp.class><PARAM NAME="scrgpt" VALUE="U2R'U'R'U'RURURU"><PARAM NAME="scrgptlanguage" VALUE="SupersetENG"><PARAM NAME="colortable" VALUE="0xf8f8f8,0x00732f,0xff4400,0xffd200,0x003373,0x8c000f,0x858585"></APPLET>                这种“三置换”公式，可以不破坏正六面体三阶魔方的其他各块，独立   进行正六面体三阶魔方“棱块” 的“三置换”。         其他只允许转动 U 面和 R 面的不同“棱块” 的“三置换”公式，大家   自己可以通过上面的公式进行相似变换（或共轭变换）即可。       

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2008-7-19 05:35 编辑 ]

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发表于 2008-7-19 05:36:25 |只看该作者

三、同时考虑“棱块”的正六面体三阶魔方“角块”的位置状态。               类似上面的“三置换”公式，可以把除了固定的“白块”及“蓝角块”   以外，其他七个自由“棱块”任选四个“排”到四个“黄棱块”的位置，共有    7 × 6 × 5 × 4 ＝ 840 种排列方法。这时，剩下的三个“棱块”也只能做   “三置换”了。        

<applet code="ch.randelshofer.rubik.RubikPlayerApp.class" codebase="http://bbs.mf100.org" archive="rubikplayer.jar" width="300" height="300">
<param name="ColorTable" value="0xf8f8f8,0x00732f,0xff4400,0xffd200,0x003373,0x8c000f,0x858585">
 <param name="scrgptLanguage" value="SupersetENG">
 <param name="stickersFront" value="4,3,4,0,0,6,0,0,4">
 <param name="stickersRight" value="4,3,4,6,6,6,4,6,4">
 <param name="stickersDown" value="0,0,4,0,0,6,0,0,4">
 <param name="stickersBack" value="4,3,4,6,0,0,4,0,0">
 <param name="stickersLeft" value="4,3,4,0,0,0,0,0,0">
 <param name="stickersUp" value="4,3,4,3,6,3,4,3,4">
</applet>
                  从而，相对于某一种正六面体三阶魔方“角块”的位置状态，其他七个   自由“棱块”有 7 × 6 × 5 × 4 × 3 ＝ 2520 种不同的位置状态。                   因此，同时考虑“棱块”的正六面体三阶魔方“角块”的位置状态有    120 × 2520 ＝ 302400  种不同的方法。              注：以上方法均按题意，不考虑角块色向、棱块色向，只考虑它们的位置。

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发表于 2008-7-20 09:50:20 |只看该作者

这题我也不会做，但根据书最后附的答案，120是正确的！
 
但感觉4楼的理由还不够充分啊！就是说如何证明：当两个蓝角块位是我们已经取定的两块时，余下的4个角块一共只有4种不同的位置状态。

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Cielo

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发表于 2008-7-20 09:56:29 |只看该作者

原帖由 乌木 于 2008-7-18 23:13 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=187267&ptid=11384" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 如果再加不考虑棱块变化，答案是不是6！＝720 ？如果棱块不许移动，则答案是不是6！/ 2＝360 ？   问题是，我的考虑中没有用到只转U和R这条件，只考虑了5号角和6号角最后不动等，而中间过程是允许动的，也就是 ...

原题是不考虑棱块的，但只允许转动U和R确实相当于一个捆绑魔方，所以答案不是720.
 
现在这题就变成证明题了，证明答案是120<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/lol.gif" border=0 smilieid="12"> 
 
那本书后面关于这题的答案很详细，我觉得很巧妙。希望大家能找到自己的证明方法！

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