N阶魔方的扰动产生原理与总状态数计算分析（全新改版）

大烟头

前言:

一、魔方的变化：

　　N阶魔方的变化是由“位置变化”与“色向变化”组成。

1.1：“位置变化”最小单元是：簇内三置换（注１）

1.2：“色向变化”最小单元是：两角扭转、两心扭转、两棱扭转、心转１８０度（注２）

二、魔方的状态：

　　魔方的状态可分为“合法状态”与“错装状态”，魔方的“合法状态”又可分为“正常状态”与“扰动状态”。“扰动状态”就是本文的研究内容了！

2.1、正常状态：在魔方正常状态下，只用簇内三置换公式与色向扭转公式，就能复原魔方了。

2.2、扰动状态：在实践复原魔方中，会遇到如二阶的两角换、三阶的中棱角变化、四阶的两棱换，有的人就无从下手解决了。这些现象产生的原理都是一样的，扰动状态是魔方某些层转90度后引起的。它们都称为“扰动状态”，这种现象称“扰动现象”。（注３）

附：

注１：三阶魔方是由６个中心块、１２个棱块、８个角块组成，每种块的集合称为簇。簇内三置换公式论坛很多文章都有介绍，如小邱写的“一式法”、本人写的“一招闯江湖”等，在这我就不多讲了。

注２：有色向变化的块都是三阶属性的魔方块（中心块、正棱块与角块）。如想了解两种变化产生的原理，祥见固顶贴中的：基本公式产生的原理一文。

注３：“扰动状态”本来就是不正常的魔方状态，只要把魔方某些层转90度，魔方就能回到“正常状态”了。扰动状态的研究对复原魔方是有点帮助的，特别是对N阶魔方总状态数的计算很有用的。

另外本文中一些表达用语是来自论坛中各位魔友的，如“N阶”引用自双子的，“扰动”“簇”等是引用忍冬的，如有意见，或者我说的“扰动”与他的“扰动”不是统一的，请告知，我另改一个词就行了。

[此贴子已经被作者于2005-12-11 18:33:13编辑过]

大烟头

N阶魔方的扰动关系分析不是很难懂的东西，一个小时就会搞定了，我只是画图浪费了很多时间。

先来个１１阶魔方的平面图，（这张图我画了很辛苦，也是本文精华所在，不能白看的）看了就大体上有个印象了，首先要先了解一下N阶魔方是由哪些块组成，还要掌握“块”、“簇”、“类”、“层”等概念就行了。


补：１、上图中魔方的正中间一层，称之“中层”
　　２、“扰动数”应改为“扰动簇数”，少打了一个字。更正。

一、块：魔方最小组成的单元就是魔方块了，如图中的角块、棱块等
二、簇：象角块的集合为角块簇，就是图中２A角簇了。
１、簇数：如三阶魔方只有角簇、正棱簇、正心簇，它的簇数是３种。
　　　　　四阶魔方有角簇、侧棱簇、斜心簇，四阶魔方的簇数也是3种。
　　　　　五阶魔方有角簇、正棱簇、正心簇、侧棱簇、斜心簇、直心簇，它的簇数是6种。
２、簇的大小分类有４类：6块簇（正心块）、8块簇（角块）、１２块簇（正棱块）、24块簇。24块簇分为四大类：（侧棱块、侧心块、直心块、斜心块）
３、只有非２４块簇的块才有色向变化，称之为三阶属性的块。
４、偶阶魔方没有6块簇（正心块）与１２块簇（正棱块），只有8块簇（角块）与24块簇,
　　偶阶24块簇的簇数＝[(n-1)2-1]/4
５、奇阶魔方含有所有类的簇。
　　奇阶24块簇的簇数＝(n-1)2/4-1
三、类：把同一属性的簇归为一类。N阶魔方共有七类的块（偶阶只含其中的四类）
如图中的侧心块有6G1簇到 10G6簇等１２种侧心块簇，合称为侧心类（用G 来表示），这样归类是因为它们变化属性是一样的，因此它们的复原方法也一样。
四、层：这就不用我解释了，想也想得出来。
偶价魔方有N/2个不同属性的层。
奇价魔方有（N+1）/2个不同属性的层（包含中层）
这楼看不懂没关系的，只要有个印象就行了。从三楼我来介绍一下２阶到１１阶魔方的扰动关系分析，到时就会明白了。

大烟头

一、二阶：
一楼已介紹过，魔方扰动是由于魔方中的某些层转90度后引起的，现在先讲一下二阶的情况：
1.1、当二阶U时：

角块黄1、黄2、黄3经三置换公式B (L' B R2 B' L B R2 B'）B'成角块黄3、黄4两角对换：


总结：二阶U时，出现两角对换。如图

2表：2A对－－－是指2阶魔方的表层扰动的最简形式是两个角块（即2 A）对换。
二阶总状态数：
我的计算方法是一其中一个角块为参照点的（注1）：
１、位置变化：7！（还剩7个角位，从上图中可知二阶是可两角对换，所以位置变化是７！）
２、色向变化：36　（剩下7个角共有色向37个变化，但从两角色向扭转公式中可知道，最后一个角色是没得选择的，所以成36）
得出：
二阶总状态数＝7！×36
注1：一个角为参照点的计算称之独角坐标，这名称来处忍大师之口，他这个名称不错，我用之。原理：如这个角选为LFD上，用U 、R、 B 这三种转法就能让二阶魔方达到所有状态，但LFD角上的角块都是不动的。

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二、三阶：

2.1、当三阶U时：




2.1.1、角块黄1、黄3、黄7经三置换公式B (L' B R2 B' L B R2 B'）B'成角块黄7、黄9两角对换：


2.1.2、棱块黄2、黄4、黄8经三置换公式R(U' L MD2 L' U L MD2 L')R'成棱块黄6、黄8两棱对换：


2.2、当三阶MU时：



2.2.1、经棱块三置换后，成两棱对换与四中块轮换。




总结：三阶U时，出现两角对换、两棱对换与一中块顺转９０度。


　　　三阶MU时，出现两棱对换与四中块轮换。




三阶魔方总状态数：
首先说一下全部中块在位置上有几种状态：由于中块间的相对位置是不变的，可知中块的位置状态是24种。有人问为何两中块间不能对换啊？我的回答是这现象与一个角块不能扭转一样，不要解释的！如还是不理解为何是24种状态，我再讲明白一点：当一个中块在F面时，转MF时会出现４种状态，共有６个中块，共计6*4＝２４种。
设以一个角为参照点（注1）来计算时：
１、角位加角色的总状态为：7！×36
２、心块位与心块色的总状态为：24×46/2
３、棱位加棱色的总状态为：12！×211
　　由扰动图中可知，只有角位与中块位置确定后棱位最后两个是没得选择的，
所以棱的实际计算时总状态数要除以２，成12！/2×211。得出：
全标（注２）三阶的总状态数＝（7！×36）×（12！/2×211）×（24×46/2）
　　　　　　　　　　　　　＝7！×36×12！×221×24
注1：奇阶魔方与偶阶魔方它们都有角块的，以其中一个角为参照点计算时更为统一合理（称之独角坐标，这名称来处忍大师之口，他这个名称不错，我用之）。
原理：如这个角选为LFD上，转动U 、R、 B 、MU、 MR、MB就能使三阶魔方达到所有状态，但LFD角位上的角块是始终不动的。
注２：全标是指魔方每个块都有标记，呵，全标这名称比全色、绝色等更形象

大烟头

三、四阶：
3.1、当四阶U时：


3.1.1、角块经三置换公式B (L' B R2 B' L B R2 B'）B'成角块黄13、黄16两角对换：


3.1.2、侧棱块组套用三阶的三置换公式R(U' L MD2 L' U L MD2 L')R'成棱块组黄8与12、黄14与15两组棱对换。


再经三置换公式ML2(U' MB' D' MB U MB' D MB)ML2成黄12、黄14、黄15三侧棱换。
再经三置换公式MR2(U ML D2 ML' U' ML D2 ML')MR2,这时顶层侧棱块全部复原了。


3.1.3、斜心块经三置换公式：ML'(U' MB' MD' MB U MB' MD MB)ML,成两心角块黄10、黄11对换。

大烟头

3.2、当四阶MU时：



3.1.1、做侧棱块与斜心块同时三置换公式F (MU' B TD2 B' MU B TD2 B'）F'后的样子：



3.1.2、再做几组斜心块三置换公式，进一步精简就成两侧棱对换了：




总结：
１、四阶表层转９０度如U时，会出现两角对换、两斜心块对换。
２、四阶二层转９０度如MU时，会出现两侧棱对换。




四阶魔方的总状态数计算：
参照点选为独角坐标。
１、角位与色色2A的总状态数：7！×36
２、斜心簇4E的总状态数：24！
３、侧棱簇4D的总状态数：24！
从扰动图中可看出：
１、４阶表层转９０度：角位2A确定后斜心块4E最后两个位置没得选择，因此斜心块4E实际计算时总状态数要除以２，为：24！/2。
２、４阶２层转９０度：侧棱块4D可两对换，它的总状态数还是：24!
得出：
全标四阶的总状态数＝（7！×36）×（24！/2）×24!
　　　　　　　　　＝7！×36×（24！）2　/2

大烟头

看了二阶到四阶后，应该懂得如何进行扰动分析了吧，以下介紹过程我就不写了。
这是中层不计的五阶扰动图：

白色为新增属性的块，如五阶新增的就符号前加个５，3B就是三阶属性的棱块，它的复原与三阶一样的，4D就是四阶属性的侧棱块，它的复原与四阶侧棱块一样的。
总结：
五阶魔方有两种扰动层：５阶表层与５阶２层，是两种扰动状态，它们组合又可生成一种扰动状态，加上正常状态。五阶魔方共有四种状态属性。
１、５阶表层转９０度时，能同时出现：两角块2A对换、两正棱块3B对换、中块3C转90度、两斜心块4E对换、两直心块5F对换。
２、５阶2层转９０度时，能同时出现：两侧棱块4D对换、两直心块5F对换。
３、５阶表层与2层都转９０度时：两角块2A对换、两正棱块3B对换、中块块3C转90度、两斜心块4E对换、两侧棱块4D对换。



以上“中层不转”是忍大师的扰动分析法，他是以中块为参照点，所以不分析中层的扰动。从原理上来说，中层转可由其它层的转动来补偿实现的，所以也能达到奇阶魔方的全部状态。缺点就是魔方不能实现整体转。
我这里介绍的扰动分析是包含中层转９０的扰动。



扰动分析：
１、５阶表层转：角2A对换、正棱3B对换、正心3C转90度、斜心4E对换、直心5F对换。
２、５阶2层转：侧棱4D对换、直心5F对换。
３、５阶中层转：正棱3B对换、直心5F对换、正心3C四轮换。
４、表层与2层都转：角2A对换、正棱3B对换、正心3C转90度、斜心4E对换、侧棱4D对换。
５、表层与中层都转：角2A对换、正心3C转90度、斜心4E对换、正心3C转90度。
６、2层与中层都转：侧棱4D对换、正棱3B对换、正心3C四轮换。
７、三种扰动层都转：角2A对换、直心5F对换、正心3C四轮换、正心3C转90度、斜心4E对换、侧棱4D对换。
８、５阶共有扰动状态种类有上面这７种，计算为：C13 +C23+C33=23 -1=7
９、斜心簇类E的扰动只与角簇A的扰动相关联，同时会出现一正心块的色向转９０度，它们的扰动是同生同灭的。
五阶总状态数计算：独角坐标计算法
奇阶魔方共有簇数为：(n-1)2/4+2，得出五阶魔方共有6簇，分别为：2A、3B、3C、4D、4E、5F。各簇的总状态数单独计算时为：
１、角2A总状态数：7！×36
２、3B总状态数：12！×211
３、3C总状态数：24×45×2＝24×211
４、4D、4E、5F总状态数都为：24！
可由五阶扰动图看出：当2A、4D、3C的簇位置确定后，其它簇的块最后两个位置才没得选择（其实2A位置确定后，4E最后两个位置就没得选择了）。
所以实际计算时，其它簇3B、4E、5F总状态数要除以２了：
１、3B总状态数：12！/2×211
２、4E与5F总状态数：24!/2
得出：
全标五阶魔方总状态数＝（7！×36）24！（24×211）（12！/2×211）（24!/2）2
　　　　　　　　　　＝7！×36×219×（24！）3×12！×24

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六阶：



可由上图看出总共有三个扰动层，可看出
１、2A位置确定后，4E、6E最后两个位置就没得选择。
２、2A、4D、6D位置都确定后，6G1与6G2最后两个位置才没得选择。
六阶总状态数计算：
１、独角坐标的角2A总状态数：7！×36
２、4D、6D总状态数：24！

３、4E、6E、6G1与6G2总状态数：24!/2
全标六阶魔方总状态数＝（7！×36）（24！）2（24!/2）4
　　　　　　　　　　＝7！×36×（24！）6/24

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七阶：




可由上图看出总共有四个扰动层：
１、2A位置确定后，4E、6E最后两个位置就没得选择。
２、2A、4D、6D、3C位置确定后，其它的块最后两个位置才没得选择。
七阶总状态数计算：
１、独角坐标的角2A总状态数：7！×36
２、4D、6D总状态数：24！
３、3C总状态数：24×45×2＝24×211
其它块最后两个位置没得选择，要除２了：
４、3B总状态数：12！/2×211
５、4E、6E、5F、7F、6G、16G2总状态数：24!/2
全标七阶魔方总状态数＝（7！×36）（24！）2（24×211）（12！/2×211）（24!/2）6
　　　　　　　　　　＝7！×36×215×（24！）8×12！×24

大烟头

八阶：



可由上图看出总共有四个扰动层，可看出
１、2A位置确定后，4E、6E、8E最后两个位置就没得选择。
２、2A、4D、6D、8D位置都确定后，侧心块G簇类最后两个位置才没得选择。
３、偶阶魔方中D簇类与E簇类的簇数都＝(n-2)/2，算得六阶为3
４、偶阶魔方中G簇类与E簇类的簇数和＝(n-2)2/4，算得六阶为9
八阶总状态数计算：
１、独角坐标的角2A总状态数：7！×36
２、4D、6D、8D总状态数：24！

３、G簇类与E簇类总状态数都为：24!/2

全标八阶魔方总状态数＝（7！×36）（24！）3（24!/2）9
　　　　　　　　　　＝7！×36×（24！）12/29
*总结全标偶阶魔方总状态数：
１、角2A位置确定后，斜心类簇E的最后两个位置就没得选择，所以E簇总状态数要除以２。
２、角2A与侧棱D位置都确定后，侧心类簇G的最后两个位置就没得选择，G簇总状态数要除以２。
3、偶阶魔方中侧棱D的簇数＝(n-2)/2
4、偶阶魔方中侧心G与斜心E的簇数和＝(n-2)2/4，
全标偶阶魔方总状态数＝（7！×36）×（24！）(n-2)/2×（24!/2）(n-2)^2/4
　　　　　　　　　　＝7！×36×（24！）(n*n-2n)/4 / 2(n-2)^2/4
与老外那公式计算结果一样！