三道数学题（数学发烧友不容错过）

Osullivan

1若平面上有997个点，如果每两点连成一条线段，且中点染成红色．证明：平面上至少有1991个红点，你能找到恰有1991个红点的特例吗？

2给定平面上有限个点，已知其中任意三点构成的三角形的面积小于1/4，求证所有的点位于某一个面积小于1的三角形的内部或边界上。

3在空间任取2n个点(n≥2)，其中任意4点不在1个平面上，任意3点不在1条直线上．在这些点之间共连结n^2+1条线段．试证：
　　(1)这些线段至少组成1个三角形；
　　(2)组成的三角形的个数不少于n个．

[ 本帖最后由 Osullivan 于 2009-6-22 11:48 编辑 ]

Daiis

我也来加一题，平面上有一个1X1 的正方形，里面又28个点，求证至少能找出4个点，组成的四边形面积小于1/9。

superacid

太简单了,我做过好几遍了

superacid

原帖由 Daiis 于 2009-6-22 12:08 发表
我也来加一题，平面上有一个1X1 的正方形，里面又28个点，求证至少能找出4个点，组成的四边形面积小于1/9。

要求这么低，只有1/9?

咖啡味的茶

随便思考了一下。
2.首先找到三个点围成的三角形面积最大，那么过任意一个顶点做对边的平行线，然后再把该平行线关于对边做对称。一共可以做到6条直线，也就是三个条形区域（一对平行线夹成的区域），它们重合的面上所有点可以满足面积不大于1/4，区域大小就是不大于1 。

superacid

楼上的是标准做法

lulijie

第一题，我的特例：997个点都在一条直线上，并且相邻两点的间距都相同。
证明过程可以用数学归纳法：
   平面上N个点，至少有S个红点。那么S=2N-3。
  1.  N=2时，S=1，显然结论成立。
  2. 假设N=K时，结论成立，即S=2K-3。
    那么，平面上已经有K个点，再增加一个点，可以证明红点至少增加2个点（可以用标记坐标的方法），
        即S=2K-3+2=2*(K+1)-3
  即N=K+1时，结论也成立。

superacid

原帖由 lulijie 于 2009-6-23 20:37 发表
第一题，我的特例：997个点都在一条直线上，并且相邻两点的间距都相同。
证明过程可以用数学归纳法：
   平面上N个点，至少有S个红点。那么S=2N-3。
  1.  N=2时，S=1，显然结论成立。
  2. 假设N=K时，结论成立 ...

都在
第二条有问题，增加一个点不一定至少增加2个红点，
比如说原来点都在x轴上，分别为x=1,-1,2,-2,...,n,-n
此时增加一个点(0,0)，红点并没有增加

kexin_xiao

题真多,学习一下

lulijie

平面上已经有K个点，再增加一个点，可以证明红点至少增加2个点（可以用标记坐标的方法），
对于K+1个点，选择增加的点可以任意选，可以选择边界的点，使得红点至少增加2个。

我把这一步详细的写出来，大家就明白了。
对于k+1个点，任意选择坐标系及坐标原点，按照横坐标从大到小排序，（若横坐标相同，则按照纵坐标从大到小排序）
选择排在前面的3个点，分别为点A、B、C。
那么除去点A，剩下的K个点按照数学归纳法第二步的假设至少有2K-3个红点。
而AB的中点和AC的中点不可能与那2K-3个红点重合，它们自己也不可能重合，所以平面上至少有2K-3+2=2*(K+1)-3个红点，
所以K+1时式子也成立，得证。