数列题(可能要用到卡丹公式)

石崇的BOSS

(我用特征根方程算出一个高次方程，不会解。看看能否解出来，或者用别的方法解这题，最好能把具体过程写出来，谢谢)

123wyx

三个实根没问题，用卡丹公式算无限麻烦，我快算不下去了。
我感觉这题不应该硬算，可能另有解法。
等待高手解答

william_khs

要我用卡丹公式，
我寧願用牛頓法了。

石崇的BOSS

也可以呀，只要能解出来就行了，这题可以用mathematic解出那个特征方程的根，但解出来之后，再代入通项，算通项公式，我就没法了，希望大家能帮帮忙，看有没有其他更好的方法

lulijie

a(n)=2S(n-1)+a(n-1)+a(n-2)-2
将a(n) 用 S(n)-S(n-1) 来代替。
得到   S(n)-S(n-1)=2S(n-1)+S(n-1)-S(n-2)+S(n-2)-S(n-3)-2
        化简得S(n)-4S(n-1)+S(n-3)+2=0
     设B(n)=S(n)+1,代入上式得  B(n)-4B(n-1)+B(n-3)=0
所以B(n)可以写成  a*X1^n+b*X2^n+c*X3^n   的形式。
   其中  X1、X2、X3是方程  x^3-4x^2+1=0  的三个根。
a(n)=S(n)-S(n-1)=(B(n)-1)-(B(n-1)-1)=B(n)-B(n-1)  也可以写成  a*X1^n+b*X2^n+c*X3^n  的形式。
通过初始条件  a(1)=1，a(2)=1，a(3)=4，解三元一次方程解出a、b、c的值。
-------------------------------------------------------
因为题目给的原因，不能通过因式分解直接获得X1、X2、X3的值。所以必须解上述的一元三次方程。
任何其他方法都离不开解这个方程，要精确表示三个根，只能用公式，或手动解出。
当然若只要一定的精度，可以交给电脑，解出近似解非常容易，只要给出系数1 -4 0 1 马上得出答案。
而接着解三元一次方程，只要给出各系数，交给电脑好了。
最后将解出的X1、X2、X3、a、b、c代入通项。
虽然计算这个通项得出的结果都是带有小数部分，不过由于a(n)都是整数，只要四舍五入到整数即可。

[ 本帖最后由 lulijie 于 2009-7-15 19:45 编辑 ]

lulijie

通项公式a(n) = 0.0624478161216134 * 3.93543233197003 ^ n + 0.717370761963492 * 0.537401577025226 ^ n - 0.779818578085133 * (-0.472833908995255) ^ n

用上述公式从n=1计算到n=8，得出以下结果：
n     a(n)
1     1
2     0.999999999999994
3     4
4    15
5     59
6     232
7     913.000000000001
8     3593
-----------------------
将结果四舍五入到整数，就是我们要求的结果，不是很准确么。

123wyx

看来还是暴力破解比较爽
手算解方程时遇到一个问题，想请教大家
计算下面这个数的立方根
哪位魔友写一下详细过程 谢谢

lulijie

a+bi的开立方。
      r=根号(a^2+b^2)
      θ=arctg（b/a)         a>0
      θ=π+arctg（b/a)     a<0
a+bi的三个立方根为  r^1/3*cos(θ/3)+r^1/3sin(θ/3) i
                                r^1/3*cos(θ/3+π/3)+r^1/3sin(θ/3+π/3) i
                                 r^1/3*cos(θ/3+2π/3)+r^1/3sin(θ/3+2π/3) i
要求精确解，不用认为只有表示成开根号、开立方的和、差、积、商形式才算精确解，
   用三角形式表示的式子也是精确解的形式。
------------------------------------
上述式子有错误，应为： r^1/3*cos(θ/3)+r^1/3sin(θ/3) i
                                r^1/3*cos(θ/3+2π/3)+r^1/3sin(θ/3+2π/3) i
                                 r^1/3*cos(θ/3+4π/3)+r^1/3sin(θ/3+4π/3) i

[ 本帖最后由 lulijie 于 2009-7-15 22:02 编辑 ]

superacid

计算这个数的立方根等价于求原三阶方程的解

lulijie

精确结果：
θ=arcos(101/128)
X1=8/3*cos(θ/3)+4/3
X2=8/3*cos(θ/3+2/3*π)+4/3
X3=8/3*cos(θ/3+4/3*π)+4/3