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求证：P,A1,B1,C1四点共圆 [复制链接]

石崇的BOSS

蓝魔

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电梯直达

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发表于 2009-7-14 17:53:35 |只看该作者 |倒序浏览

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122047397

红魔

无穷

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发表于 2009-7-14 18:00:00 |只看该作者

只要求证内对角互补即可证明四点共圆了，有个问题：圆c b是否等大？

2x2x2 Average 5.70s 3x3x3 Average 16'37"4x4x4sub 1min30 5x5x5 sub 3min exPLL 46'33"

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superacid

银魔

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3^#

发表于 2009-7-14 23:09:20 |只看该作者

看到这种题目就用反演

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石崇的BOSS

蓝魔

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发表于 2009-7-14 23:42:07 |只看该作者

回复 2# 的帖子

题目中没明确说明圆B和圆C的大小

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superacid

银魔

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5^#

发表于 2009-7-15 08:01:48 |只看该作者

以P为反演中心，1为反演半径，设点A反演为A'...
则三个圆反演为三条直线。
要证明P,A1,B1,C1共圆只需证明A1',B1',C1'共线。
又A1'在直线B'C'上，所以只需证明A'C1'/C'1B'×B'A1'/A1'C'×C'B1'/B1'A'=1 (Menelaus定理)
而对任意两点X,Y，其反点X',Y'，满足X'Y'=XY/(PX×PY)，这是反演基本公式
所以A'C1'=AC1/(PA×PC1),C'1B'=C1B/(PC1×PB)，注意到AC1=C1B，相除得A'C1'/C1'B'=PB/PA，
这样的三个式子相乘得到A'C1'/C'1B'×B'A1'/A1'C'×C'B1'/B1'A'=1，原题得证。

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