被夸大的魔方状态数

xhzwd

从还原的角度来说魔方整体翻转其实是一样，就是一个状态。
43 252 003 274 489 856 000/6=720866721241497600 种状态变化数
魔方装好以后贴纸已经固定，颜色的对应关系已经固定，就是蓝的对面是绿等。
用蓝做底和用白做底应用同一打乱公式后的状态其实也是一样的。
此对应的颜色关系应该有六种
720866721241497600/6=1201444535402496000
其中还有没有其他的对应关系希望有志者能研究一下得出一个科学的答案。
其实从还原的角度来说魔方的状态数没有那么大的，可不要给那天文数字给吓住了。

乌木

三阶魔方任一态整体运动后取规整的方向的话，有24种模样，比如用照相机拍照的话，可以得到24幅各不相同的照片。但是，这24种不同的状态是相对于魔方的周围环境来说的，这种统计法在某种计算中有它的用处。
一般，总是用六个中心块组为魔方状态的参照物，参照系建在魔方上面，那么，魔方的整体运动，就不产生新的状态，上述24个态要合并为一个态。好比，照相机固定在魔方的某一中心块上的伸出架子上，但拍摄魔方自身。角块、棱块可变，照片也就一张张不同。但是，角块、棱块不动时，只有魔方整体运动的话，相机跟着翻滚，照片拍到的状态不变。除非魔方整体运动得撞上什么太空垃圾而破碎了，照片才会变化！所以刚才的24种状态，此时统统是一个状态。
假如公式只是“U”，同一魔方分别白为底和蓝为底，执行公式U，怎么会一样呢？这里约定参照物为中心块，白为底做一下U，等价于蓝为底时转一下某个侧面！怎么会和蓝为底时转一下U一样呢？你用魔方实际做一下就明白。
你说的其实是，两者属于所谓“同构”，不是同态。不少的计算方法就是利用同构关系来精简计算的。这概念你可以用于某些魔方问题的计算，很有意义的！但别直接用于魔方总态数的计算，或者最后的总态数要折算回来。
你说的对－－从复原角度看，同构情况可以用同一公式复原，这正是大家天天在做的事情－－比如，下两层复原后，第三层有非常多的状态，但是OLL、PLL方法不必傻傻地给出同样多的公式！

xhzwd

谢谢乌木老师！
现在脑里想的清晰了很多。
从复原角度看（六个照相机固定在魔方的相应中心块上的伸出架子上）
“同构”视为一种（如果魔方只有两种颜色更容易理解）
这种方法计算出来的状态数在魔方复原中应该有更深层的意义的。

乌木

固定参照物中心块组就意味着只有一个“相机”，且不仅面对该相机的是确定的某个中心块，连上、下、左、右四个中心块谁是谁也确定了的，后面的中心块也随之确定。此时，分别从同一魔方的同一状态出发，比如，先转一下U得到态a；再让状态复初，转一下R得态b，两次变化属于同构变化，但态a和态b不是同态。
在固定中心块组之后，角块、棱块有丁点儿变化，魔方的状态就改变。这种变化是否属于同构，则是另一问题。同态和同构搅在一起讨论，人脑吃不消的，我想。
又比如，任一状态时，保持角块－棱块框架不变，做一下六面换心，状态算变化了。因为中心块组和周围的框架之间的运动是相对的，中心块组整体转动了，就是中心块组不动而周围框架相对于中心块组做了相反的运动，所以魔方的状态变了。但显然种种六面换心变化是同构变化。同构不同态。
有时一批同构之中又含有同态（寻找同构时，由于中心块组动了，就会有这种事；否则，中心块组不动的话，就是魔方没有整体运动，角块、棱块的种种变化，包括角块－棱块框架的整体运动，都不会有同态的。）
不仅同构可用于精简计算，还有对称，逆步骤，逆对称等变化关系也被用来简化一些表述。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-9-12 15:48 编辑 ]

pengw

再这样搞下去,乌木前辈快被整晕了,哈哈哈,这也问题吗?哈哈哈

爱动脑

状态数计算不会难~~

wangguo35367

想错了   不能这么算的

HeyShawn

转载：
        对魔方研究来说， 群论有一个非常重要的优点， 就是它可以充分利用魔方的对称性。
我们前面提到 4325 亿亿这个巨大数字时， 其实有一个疏漏， 那就是并未考虑到魔方作为
一个立方体所具有的对称性。 由此导致的结果， 是那 4325 亿亿种颜色组合中有很多其实
是完全相同的， 只是从不同的角度去看 (比如让不同的面朝上) 而已。 因此， 4325 亿亿
这个令人望而生畏的数字实际上是 “注水猪肉”。 那么， 这 “猪肉” 中的 “水份”
占多大比例呢？ 说出来吓大家一跳： 占了将近 99%！ 换句话说， 仅凭对称性一项，
数学家们就可以把魔方的颜色组合减少两个数量级[注五]。


原文链接：
http://www.changhai.org/articles/science/mathematics/rubikcube.php


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转载自： 卢昌海《魔方与 “上帝之数”》一文

他说的“注水猪肉”好像有问题？

4325亿亿好像没有重复（“注水猪肉”）的吧？




[ 本帖最后由 HeyShawn 于 2009-11-25 13:06 编辑 ]

乌木

109楼说“……只是从不同的角度去看 (比如让不同的面朝上) 而已。……”，说得很不对。

“4.3×10^19”这个数目是指纯色魔方六个中心块不动位置的条件下，角块和棱块经过转魔方方法所能得到的不同状态数目，谈不上什么“让不同的面朝上”之类的说法。也就是说，决无半点“水分”！在计算三阶纯色魔方的式子中根本没有中心块状态的变化数，一个魔方的中心块各自固定位置之后，还怎么“让不同的面朝上”？！即使计算全色魔方，中心块也只有各自的自转变化数，没有魔方整体运动。

在计算偶阶魔方的总态数时，一般已经排除了魔方整体运动产生的24同态问题，所以，也决无“水分”。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-11-23 18:15 编辑 ]

nnkken

因為4325億億這個數字是以中心塊不能動（例如：上白前綠），然後把角塊與棱塊的零件一個一個裝回魔方裡面作為基礎（最後再除掉裝錯了而不能靠轉動復原的狀態），所以根本沒有所謂的旋轉問題。
你以為轉個z後的狀態也被算進了4325億億個狀態裡面？不，因為轉完z後中心塊根本就不是上白前綠，因此絕對不可能被算進了4325億億個狀態裡面。